Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1989

Đề thi

Bài 1Cho $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực dương và $S=x_1+x_2+\cdots+x_n$ . Chứng minh $(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}$ .Các cách giải: 1
Bài 2Chứng minh phương trình $6(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2$ không có nghiệm nguyên nào ngoài $a=b=c=n=0$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $A_1,A_2,A_3$ là ba điểm trong mặt phẳng, với $A_4=A_1$ và $A_5=A_2$ . Với $n=1,2,3$ , gọi $B_n$ là trung điểm của $A_nA_{n+1}$ và $C_n$ là trung điểm của $A_nB_n$ . Đặt $D_n=A_nC_{n+1}\cap B_nA_{n+2}$ và $E_n=A_nB_{n+1}\cap C_nA_{n+2}$ . Tính tỉ số diện tích của $D_1D_2D_3$ và $E_1E_2E_3$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $S$ là tập gồm $m$ cặp $(a,b)$ của các số nguyên dương với $1\le a<b\le n$ . Chứng minh có ít nhất $\dfrac{m(4m-n^2)}{3n}$ bộ ba $(a,b,c)$ sao cho $(a,b),(a,c)$ và $(b,c)$ đều thuộc $S$ .Các cách giải: 1
Bài 5Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho (1) $f$ tăng nghiêm ngặt, và (2) $f(x)+g(x)=2x$ với mọi $x$ thực, trong đó $g$ là hàm ngược theo phép hợp của $f$ .Các cách giải: 1