Math Labs

Bài 3

Cho p≥5p\ge5 là một số nguyên tố. Gọi rr là số cách đặt pp quân cờ giống nhau trên bàn cờ p×pp\times p sao cho không phải tất cả quân cờ đều nằm trên cùng một hàng (chúng có thể cùng nằm trên một cột). Chứng minh rằng rr chia hết cho p5p^5.
Bước 1 trên 5: Đếm các cách đặt được phép
Bước trướcBước tiếp
r=(p2p)−p=p((p2−1)⋯(p2−(p−1))(p−1)!−1)r=\binom{p^2}{p}-p=p\left(\frac{(p^2-1)\cdots(p^2-(p-1))}{(p-1)!}-1\right)
Phân tích chi tiết

Chọn pp ô phân biệt cho (p2p)\binom{p^2}{p} cách đặt. Có đúng pp cách đặt tất cả quân trên một hàng, nên phải loại đi. Vì vậy r=(p2p)−pr=\binom{p^2}{p}-p, và chỉ cần chứng minh (p2−1)⋯(p2−(p−1))(p−1)!−1\frac{(p^2-1)\cdots(p^2-(p-1))}{(p-1)!}-1 chia hết cho p4p^4.