Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2022

Đề thi

Bài 1Tìm mọi cặp $(a,b)$ số nguyên dương sao cho $a^3$ là bội của $b^2$ , và $b-1$ là bội của $a-1$ . (Ở đây $n$ được gọi là bội của $m$ nếu $n=km$ với số nguyên $k$ nào đó.)Các cách giải: 1
Bài 2Cho tam giác vuông $ABC$ với $\angle B=90^\circ$ . Điểm $D$ nằm trên đường thẳng $CB$ sao cho $B$ nằm giữa $D$ và $C$ . Gọi $E$ là trung điểm $AD$ và $F$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $\triangle ACD$ và đường tròn ngoại tiếp $\triangle BDE$ . Chứng minh rằng khi $D$ thay đổi, đường thẳng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định.Các cách giải: 1
Bài 3Tìm mọi số nguyên dương $k<202$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ để $\left\{\frac{n}{202}\right\}+\left\{\frac{2n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{kn}{202}\right\}=\frac{k}{2},$ trong đó $\{x\}$ là phần lẻ của $x$ . (Ở đây $\{x\}$ là số thực $r$ với $0\le r<1$ sao cho $x-r$ là số nguyên.)Các cách giải: 1
Bài 4Cho $n$ và $k$ là hai số nguyên dương. Cathy chơi trò chơi sau. Có $n$ viên bi và $k$ chiếc hộp, các viên bi được đánh số từ $1$ đến $n$ . Ban đầu, tất cả các viên bi nằm trong một hộp. Mỗi lượt, Cathy chọn một hộp rồi chuyển viên bi có nhãn nhỏ nhất, giả sử là $i$ , sang một hộp trống bất kỳ hoặc sang hộp đang chứa viên bi $i+1$ . Cathy thắng nếu tại một thời điểm nào đó có một hộp chỉ chứa duy nhất viên bi $n$ . Xác định mọi cặp số nguyên $(n,k)$ sao cho Cathy có thể thắng trò chơi này.Các cách giải: 1
Bài 5Cho $a,b,c,d$ là các số thực sao cho $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ và tìm tất cả các bộ $(a,b,c,d)$ đạt giá trị nhỏ nhất đó.Các cách giải: 1