Math Labs

Bài 5

Trong tứ diện ABCDABCD, ∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ. Chân HH của đường vuông góc từ DD xuống mặt phẳng ABCABC là giao điểm các đường cao của △ABC\triangle ABC. Chứng minh (AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2). Khi nào xảy ra đẳng thức?
Bước 1 trên 4: Dùng trực tâm để đưa vào điểm E
Bước trướcBước tiếp
E=CH∩AB,AB⊥ED,BC2−BD2=CE2−DE2E=CH\cap AB,\quad AB\perp ED,\quad BC^2-BD^2=CE^2-DE^2
Tứ diện minh họa cấu hình với trực tâm
Tứ diện 3D minh họa giao điểm các đường cao và hình chiếu vuông góc từ D xuống mặt ABC.
Phân tích chi tiết

Đặt E=CH∩ABE=CH\cap AB. Hai mặt phẳng CDE và ABC vuông góc, còn ABAB vuông góc với giao tuyến CECE; do đó AB⊥AB\perp mặt phẳng CDECDE và AB⊥EDAB\perp ED. Vì vậy BD2=DE2+BE2BD^2=DE^2+BE^2 và BC2=CE2+BE2BC^2=CE^2+BE^2, suy ra BC2−BD2=CE2−DE2BC^2-BD^2=CE^2-DE^2.