Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1990

Đề thi

Bài 1Hai dây $AB$ và $CD$ của một đường tròn cắt nhau tại $E$ bên trong đường tròn. Gọi $M$ là điểm trong đoạn $EB$ . Tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn qua $D,E,M$ cắt $BC$ và $AC$ tại $F,G$ . Nếu $t=AM/AB$ , hãy tìm $EF/EG$ . Các cách giải: 1
Bài 2Cho $n\ge3$ và tập $E$ gồm $2n-1$ điểm phân biệt trên một đường tròn. Tô đen đúng $k$ điểm. Gọi cách tô là tốt nếu có một cặp điểm đen mà cung giữa chúng có phần trong chứa đúng $n$ điểm của $E$ . Tìm $k$ nhỏ nhất để mọi cách tô $k$ điểm đều tốt. Các cách giải: 1
Bài 3Tìm tất cả số nguyên $n>1$ sao cho $(2^n+1)/n^2$ là số nguyên. Các cách giải: 1
Bài 4Xây dựng hàm $f:\mathbb Q^+\to\mathbb Q^+$ sao cho $f(xf(y))=f(x)/y$ với mọi số hữu tỉ dương $x,y$ . Các cách giải: 1
Bài 5Cho $n_0>1$ , A và B lần lượt chọn các số nguyên. Biết $n_{2k}$ , A chọn $n_{2k+1}$ sao cho $n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^2$ . Biết $n_{2k+1}$ , B chọn $n_{2k+2}$ sao cho $n_{2k+1}/n_{2k+2}=p^r$ với $p$ nguyên tố và $r\ge1$ . A thắng khi chọn $1990$ , B thắng khi chọn $1$ . Phân loại giá trị ban đầu theo chiến lược thắng của mỗi bên hoặc không bên nào có. Các cách giải: 1
Bài 6Chứng minh rằng tồn tại một đa giác lồi 1990 cạnh có các góc bằng nhau và độ dài các cạnh, theo một thứ tự nào đó, là $1^2,2^2,\ldots,1990^2$ . Các cách giải: 1