Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1998

Đề thi

Bài 1In convex quadrilateral $ABCD$ , diagonals $AC$ và $BD$ là perpendicular và opposite sides $AB$ và $DC$ là không parallel. Giả sử thtại điểm $P$ , trong đó perpendicular bisectors của $AB$ và $DC$ meet, là inside $ABCD$ . Chứng minh rằng $ABCD$ là a cyclic quadrilateral if và chỉ if tam giács $ABP$ và $CDP$ have equal diện tíchs.Các cách giải: 1
Bài 2In a competition, there là $a$ contestants và $b$ judges, trong đó $b\ge3$ là an odd nguyên. Each judge rates mỗi contestant as either “pass” hoặc “fail”. Giả sử $k$ là a số sao cho, cho any two judges, their ratings coincide cho tại most $k$ contestants. Chứng minh rằng $\frac{k}{a}\ge\frac{b-1}{2b}$ .Các cách giải: 1
Bài 3Fhoặc any số nguyên dương $n$ Bản dịch: , let $d(n)$ denote số của positive ướcs của $n$ Bản dịch: (including $1$ và $n$ itself). Xác định tất cả số nguyên dương $k$ sao cho $\frac{d(n^2)}{d(n)}=k$ cho some $n$ .Các cách giải: 1
Bài 4Xác định tất cả pairs $(a,b)$ của số nguyên dương sao cho $ab^{2}+b+7$ Bản dịch: divides $a^{2}b+a+b$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $I$ be intâm của tam giác $ABC$ . Cho inđường tròn của $ABC$ touch sides $BC$ , $CA$ , và $AB$ tại $K$ , $L$ , và $M$ , respectively. The đường thẳng through $B$ parallel đến $MK$ meets đường thẳngs $LM$ và $LK$ tại $R$ và $S$ , respectively. Chứng minh rằng góc $RIS$ là acute.Các cách giải: 1
Bài 6Xác định least possible value của $f(1998)$ , trong đó $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ là a hàm sao cho với mọi $m,n\in\mathbb{N}$ , $f\left(n^{2}f(m)\right)=m\left(f(n)\right)^{2}.$ Các cách giải: 1