Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2015

Đề thi

Bài 1Ta nói một tập hợp hữu hạn $S$ các điểm trong mặt phẳng là cân bằng nếu với hai điểm phân biệt bất kỳ $A$ và $B$ trong $S$ , tồn tại một điểm $C$ trong $S$ sao cho $AC=BC$ . Ta nói $S$ là không tâm nếu với ba điểm phân biệt bất kỳ $A$ , $B$ , $C$ trong $S$ , không tồn tại điểm $P$ trong $S$ sao cho $PA=PB=PC$ . (a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n\ge3$ , tồn tại một tập hợp cân bằng gồm $n$ điểm. (b) Xác định tất cả các số nguyên $n\ge3$ mà với chúng tồn tại một tập hợp cân bằng và không tâm gồm $n$ điểm.Các cách giải: 1
Bài 2Xác định tất cả các bộ ba $(a,b,c)$ các số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số $ab-c$ , $bc-a$ , và $ca-b$ đều là một lũy thừa của $2$ (một lũy thừa của $2$ là số nguyên có dạng $2^n$ , trong đó $n$ là số nguyên không âm).Các cách giải: 1
Bài 3Cho $ABC$ là một tam giác nhọn với $AB>AC$ . Gọi $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp của nó, $H$ là trực tâm, và $F$ là chân đường cao từ $A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Gọi $Q$ là điểm trên $\Gamma$ sao cho $\angle HQA=90^\circ$ , và gọi $K$ là điểm trên $\Gamma$ sao cho $\angle HKQ=90^\circ$ . Giả sử rằng các điểm $A$ , $B$ , $C$ , $K$ , $Q$ đều phân biệt và nằm trên $\Gamma$ theo thứ tự này. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $KQH$ và $FKM$ tiếp xúc với nhau.Các cách giải: 1
Bài 4Tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\Omega$ và tâm ngoại tiếp $O$ . Đường tròn $\Gamma$ tâm $A$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại hai điểm $D$ và $E$ , sao cho $B$ , $D$ , $E$ , $C$ đôi một khác nhau và nằm trên đường thẳng $BC$ theo đúng thứ tự đó. Gọi $F$ và $G$ là các giao điểm của $\Gamma$ và $\Omega$ , sao cho $A$ , $F$ , $B$ , $C$ , $G$ nằm trên $\Omega$ theo đúng thứ tự đó. Gọi $K$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDF$ với đoạn thẳng $AB$ , và gọi $L$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CGE$ với đoạn thẳng $AC$ . Giả sử các đường thẳng $FK$ và $GL$ phân biệt và cắt nhau tại điểm $X$ . Chứng minh rằng $X$ nằm trên đường thẳng $AO$ .Các cách giải: 1
Bài 5Gọi $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực. Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$ với mọi số thực $x$ và $y$ .Các cách giải: 1
Bài 6Dãy số nguyên $a_1,a_2,\dots$ thỏa mãn các điều kiện: (i) $1\le a_j\le 2015$ với mọi $j\ge1$ ; (ii) $k+a_k\ne \ell+a_\ell$ với mọi $1\le k<\ell$ . Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương $b$ và $N$ sao cho $\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2$ với mọi số nguyên $m$ và $n$ thỏa mãn $n>m\ge N$ .Các cách giải: 1