Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2024

Đề thi

Bài 1Tìm tất cả số thực $\alpha$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ , số nguyên $\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor$ chia hết cho $n$ .Các cách giải: 1
Bài 2Với những cặp số nguyên dương $(a,b)$ nào thì dãy $\gcd(a^n+b,b^n+a)$ , $n=1,2,\ldots$ , cuối cùng trở thành hằng số?Các cách giải: 1
Bài 3Cho $a_1,a_2,a_3,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương, và cho $N$ là một số nguyên dương. Giả sử rằng, với mỗi $n>N$ , số $a_n$ bằng số lần $a_{n-1}$ xuất hiện trong danh sách $(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})$ . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai dãy $a_1,a_3,a_5,\ldots$ và $a_2,a_4,a_6,\ldots$ là tuần hoàn kể từ một lúc nào đó.Các cách giải: 1
Bài 4Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$ thỏa mãn $AB<AC<BC$ . Gọi $X$ là một điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $C$ , sao cho đường thẳng qua $X$ song song với $AC$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp. Tương tự, gọi $Y$ là một điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $B$ , sao cho đường thẳng qua $Y$ song song với $AB$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần thứ hai tại $P$ . Gọi $K$ và $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$ . Chứng minh rằng $\angle KIL+\angle YPX=180^\circ$ .Các cách giải: 1
Bài 5Ốc sên Turbo đang ở hàng trên cùng của một lưới ô vuông gồm 2024 hàng và 2023 cột, muốn đi tới hàng dưới cùng. Tuy nhiên có 2022 con quái vật ẩn, mỗi hàng (trừ hàng đầu và hàng cuối) có đúng một con, không có hai con quái vật nào ở cùng một cột. Turbo thực hiện một loạt các lần thử để đi từ hàng đầu tiên tới hàng cuối cùng. Ở mỗi lần thử, Turbo chọn một ô bất kỳ ở hàng đầu tiên để xuất phát, rồi liên tục di chuyển sang một ô kề cạnh (theo phương ngang hoặc dọc). (Turbo được phép quay lại một ô đã đi qua trước đó.) Nếu Turbo đi vào một ô có quái vật, lần thử đó kết thúc và Turbo bị đưa trở lại hàng đầu tiên để bắt đầu một lần thử mới. Các con quái vật không di chuyển giữa các lần thử, và Turbo nhớ được ô nào mình đã đi qua có quái vật hay không. Nếu Turbo tới được một ô bất kỳ ở hàng cuối cùng, lần thử đó kết thúc và Turbo chiến thắng. Hãy tìm số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho Turbo có một chiến lược đảm bảo tới được hàng cuối cùng trong tối đa $n$ lần thử, bất kể quái vật được đặt ở đâu.Các cách giải: 1
Bài 6Một hàm $f:\mathbb Q\to\mathbb Q$ được gọi là aquaesulian nếu tính chất sau đây đúng: với mọi $x,y\in\mathbb Q$ , ta có $f(x+f(y))=f(x)+y$ hoặc $f(f(x)+y)=x+f(y)$ . Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm aquaesulian $f$ , có nhiều nhất $c$ số hữu tỉ khác nhau có dạng $f(r)+f(-r)$ với $r$ là một số hữu tỉ nào đó, và tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $c$ .Các cách giải: 1