Dạng song tuyến tính và toàn phương

Ta thậm chí không cần trị riêng để chéo hóa một dạng toàn phương: phép ghép bình phương quen thuộc ở phổ thông, áp dụng lần lượt từng biến, đã gom hết mọi số hạng chéo $x_i x_j$ vào trong một bình phương.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo số biến $n$; trường hợp $n=1$ đã là một số hạng duy nhất $a_{11}x_1^2$.

Với $n > 1$, nếu toàn bộ dạng bằng không thì không cần làm gì. Ngược lại, trước hết giả sử có một hệ số đường chéo khác không; sau khi đánh số lại các biến ta có thể giả sử $a_{11} \neq 0$. Gom mọi số hạng chứa $x_1$ lại cho $a_{11}x_1^2 + 2x_1(a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n)$ cộng với một dạng toàn phương chỉ phụ thuộc $x_2,\dots,x_n$.

Đặt $y_1 = x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2 + \cdots + \frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n$ và $y_k = x_k$ với $k \ge 2$ là một phép đổi biến tuyến tính khả nghịch, và $a_{11}y_1^2$ khớp hết mọi số hạng chứa $x_1$ sai khác một phần dư chỉ phụ thuộc $y_2,\dots,y_n$; do đó $Q = a_{11}y_1^2 + Q'(y_2,\dots,y_n)$.

Nếu ngược lại mọi phần tử đường chéo đều bằng không ($a_{ii}=0$ với mọi $i$), chọn một số hạng chéo khác không $2a_{12}x_1 x_2$ với $a_{12} \neq 0$. Phép thế khả nghịch $x_1 = u_1 + u_2$, $x_2 = u_1 - u_2$ biến $2a_{12}x_1 x_2$ thành $2a_{12}(u_1^2 - u_2^2)$, tạo ra hệ số đường chéo khác không và đưa về trường hợp trước. Áp dụng giả thiết quy nạp cho $Q'(y_2,\dots,y_n)$ hoàn tất việc chéo hóa.

Chuyển sang hệ tọa độ mới có thể kéo giãn các trục và làm đổi độ lớn từng hệ số đường chéo $d_i$, nhưng không bao giờ biến một hướng cong lên thành hướng cong xuống mà không đi qua hướng phẳng — nên số lượng trục cong lên, cong xuống và phẳng bị khóa cố định mãi mãi.

Giả sử $Q$ được chéo hóa trong hai cơ sở $\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}$ và $\{\mathbf{f}_1,\dots,\mathbf{f}_n\}$, với số lượng hệ số dương, âm, bằng không là $(n_+, n_-, n_0)$ trong cơ sở thứ nhất và $(p_+, p_-, p_0)$ trong cơ sở thứ hai. Sắp thứ tự mỗi cơ sở sao cho các hệ số dương đứng trước, rồi đến âm, rồi đến không.

Giả sử phản chứng rằng $n_+ > p_+$. Đặt $V_+ = \mathrm{span}(\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_{n_+})$, một không gian con chiều $n_+$ mà trên đó $Q(\mathbf{x}) > 0$ với mọi $\mathbf{x} \in V_+$ khác không (vì chỉ các bình phương dương trong khai triển theo $\mathbf{e}$ xuất hiện trên $V_+$).

Tương tự, đặt $W_- = \mathrm{span}(\mathbf{f}_{p_+ + 1},\dots,\mathbf{f}_n)$, một không gian con chiều $n - p_+$ mà trên đó $Q(\mathbf{x}) \le 0$ với mọi $\mathbf{x} \in W_-$ (vì chỉ các bình phương âm và bằng không trong khai triển theo $\mathbf{f}$ xuất hiện trên $W_-$).

Bây giờ đếm số chiều trong $\mathbb{R}^n$: vì $n_+ > p_+$, ta có $\dim V_+ + \dim W_- = n_+ + (n - p_+) > n$. Theo công thức số chiều cho không gian con, hai không gian con có tổng số chiều lớn hơn $n$ không thể có giao tầm thường; do đó tồn tại một vectơ khác không $\mathbf{v} \in V_+ \cap W_-$.

Vì $\mathbf{v} \in V_+$ và $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$, ta phải có $Q(\mathbf{v}) > 0$; vì $\mathbf{v} \in W_-$, ta đồng thời phải có $Q(\mathbf{v}) \le 0$, mâu thuẫn trực tiếp. Vậy $n_+ \le p_+$, và do tính đối xứng giữa hai cơ sở nên $p_+ \le n_+$, suy ra $n_+ = p_+$. Áp dụng lập luận y hệt cho $-Q$ cho $n_- = p_-$, và cuối cùng $n_0 = n - n_+ - n_- = p_0$.