Đạo hàm riêng, gradient

Tích vô hướng chiếu vectơ gradient lên hướng di chuyển đã chọn: bạn nhận toàn bộ độ lớn của gradient chỉ khi đi trùng khít với hướng của nó, và độ cao không đổi khi bạn đi vuông góc với nó dọc theo đường đồng mức.

Xét hàm một biến $g(t) = f(a + t\mathbf{u})$. Theo định nghĩa đạo hàm theo hướng, $D_{\mathbf{u}}f(a) = g'(0)$. Vì $f$ khả vi toàn phần tại $a$, ta có $f(a + t\mathbf{u}) - f(a) = \nabla f(a) \cdot (t\mathbf{u}) + o(|t|)$ khi $t \to 0$. Chia hai vế cho $t$ và lấy giới hạn khi $t \to 0$ ta thu được $D_{\mathbf{u}}f(a) = \nabla f(a) \cdot \mathbf{u}$.

Theo công thức hình học của tích vô hướng Euclid và điều kiện vectơ đơn vị $\|\mathbf{u}\| = 1$, ta có $\nabla f(a) \cdot \mathbf{u} = \|\nabla f(a)\|\,\|\mathbf{u}\|\cos\theta = \|\nabla f(a)\|\cos\theta$. Do $-1 \le \cos\theta \le 1$, giá trị lớn nhất $\|\nabla f(a)\|$ đạt được duy nhất tại $\theta = 0$, tức khi $\mathbf{u} = \frac{\nabla f(a)}{\|\nabla f(a)\|}$, và giá trị nhỏ nhất $-\|\nabla f(a)\|$ đạt được tại $\theta = \pi$.

Tính đối xứng của đạo hàm riêng hỗn hợp đảm bảo ma trận Hessian đối xứng, và việc đưa dạng toàn phương của nó về tổng bình phương cho biết mặt cong lõm lên như lòng chảo, úp xuống như mái vòm hay xoắn lại như yên ngựa quanh mặt phẳng tiếp xúc nằm ngang.

Với $h, k$ nhỏ khác không, xét sai phân cấp hai $\Delta(h,k) = f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0+h,y_0) - f(x_0,y_0+k) + f(x_0,y_0)$. Áp dụng Định lý giá trị trung bình một biến trước hết cho $g(x) = f(x,y_0+k) - f(x,y_0)$ trên $[x_0, x_0+h]$ rồi cho $f_x$ theo biến $y$ ta được $\Delta(h,k) = hk\,f_{yx}(c_1, d_1)$, trong khi áp dụng theo thứ tự ngược lại cho $\Delta(h,k) = hk\,f_{xy}(c_2, d_2)$ tại các điểm trung gian hội tụ về $(x_0,y_0)$. Cho hai biểu thức bằng nhau và lấy giới hạn $(h,k) \to (0,0)$ theo tính liên tục ta chứng minh được $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)$.

Tại điểm dừng nơi $\nabla f(x_0,y_0) = \mathbf{0}$, công thức Taylor cho $f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) = \frac{1}{2}Q(h,k) + o(h^2+k^2)$, với $Q(h,k) = f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2$. Khi $f_{xx} \ne 0$, tách bình phương đủ viết lại $Q(h,k) = \frac{1}{f_{xx}}\left[(f_{xx}h + f_{xy}k)^2 + Dk^2\right]$ với $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$. Nếu $D > 0$, biểu thức trong ngoặc vuông dương chặt với mọi $(h,k) \ne (0,0)$, nên dấu của $Q(h,k)$ trùng với dấu của $f_{xx}$ (cho cực tiểu chặt khi $f_{xx} > 0$ và cực đại chặt khi $f_{xx} < 0$). Nếu $D < 0$, $Q(h,k)$ nhận cả giá trị dương lẫn âm dọc theo các đường thẳng khác nhau qua gốc, tạo thành điểm yên ngựa.