Giả thuyết Goldbach

Đây là kết quả gần nhất mà con người đạt được khi chứng minh Goldbach nhị phân bằng một lập luận hoàn toàn chặt chẽ, không điều kiện: nó nới lỏng 'số nguyên tố' thành 'số nguyên tố hoặc gần nguyên tố bậc 2' ở một phía, điều mà phương pháp sàng có thể xử lý dù không thể tách riêng số nguyên tố một cách chính xác.

Chứng minh là một lập luận sàng có trọng số. Cố định số chẵn $n$ lớn và xét, với mỗi số nguyên tố $p\le n$, liệu $n-p$ có ít ước nguyên tố hay không. Một sàng ngây thơ (sàng cận trên Selberg) có thể chỉ ra rằng số các $p\le n$ mà $n-p$ có nhiều nhất hai ước nguyên tố không quá nhỏ — nhưng chỉ dùng sàng đơn thuần thì không thể phân biệt "$n-p$ là số nguyên tố" với "$n-p$ có $3,4,\dots$ ước nguyên tố" đủ mạnh để kết luận điều gì.

Công cụ then chốt của Chen, sàng có trọng số (hay "nguyên lý chuyển đổi"), gán cho mỗi ứng viên $p$ một trọng số dựng từ hai mức sàng khác nhau: một sàng cận trên cho biến cố "xấu" rằng $n-p$ có từ ba ước nguyên tố trở lên dưới ngưỡng $z\approx n^{1/3}$, và một sàng cận dưới cho tổng số $p\le n$ mà $n-p$ nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên tố dưới $z$. Lấy vế thứ hai trừ đi một bội số có trọng số thích hợp của vế thứ nhất tạo ra một tổng tổ hợp mà có thể chứng minh là dương khi $n$ đủ lớn — cho thấy tồn tại $p$ sao cho $n-p$ có nhiều nhất $2$ ước nguyên tố trên ngưỡng, tức $n-p$ là số nguyên tố hoặc gần nguyên tố bậc 2.

Để "chứng minh được là dương", cần ước lượng một dạng song tuyến đến từ các số hạng dư của sàng, dùng các kết quả kiểu Bombieri–Vinogradov về phân bố số nguyên tố trong cấp số cộng với môđun lớn (trung bình trên các môđun tới khoảng $n^{1/2-\varepsilon}$); đây là đầu vào giải tích sâu sắc nhất, và cũng là lý do định lý cần $n$ "đủ lớn" thay vì đúng với mọi $n$ ngay từ đầu.

Định lý dừng lại ở "số nguyên tố hoặc gần nguyên tố bậc 2" chứ không phải "số nguyên tố hoặc số nguyên tố" vì các phương pháp sàng gặp phải vấn đề chẵn lẻ (parity problem): theo cách dựng, các trọng số sàng chuẩn không thể phân biệt số có số lượng ước nguyên tố chẵn với số có số lượng ước nguyên tố lẻ, nên chúng không bao giờ có thể sàng xuống tới riêng số nguyên tố từ kiểu lập luận này — gần nguyên tố bậc 2 là mục tiêu sắc bén nhất mà lý thuyết sàng hiện có thể đạt tới.

Đây là thành công không điều kiện sâu sắc nhất của phương pháp vòng tròn áp dụng trực tiếp cho số nguyên tố, và nó biến giả thuyết Goldbach nhị phân từ một bài toán hoàn toàn mở thành một bài toán mà ít nhất phiên bản tổng ba số lẻ đã được giải quyết trọn vẹn.

Chứng minh đi theo đúng phương pháp vòng tròn đã phác thảo trước đó trong nhánh lý thuyết số này, áp dụng cho tổng mũ có trọng số von Mangoldt $F(\alpha)=\sum_{p\le n}\log p\; e(p\alpha)$, với số cách biểu diễn có trọng số bởi $\int_0^1 F(\alpha)^3 e(-n\alpha)\,d\alpha$.

Trên các cung lớn (khoảng ngắn quanh các số hữu tỉ $a/q$ với $q$ nhỏ), định lý Siegel–Walfisz về số nguyên tố trong cấp số cộng — đều với môđun $q$ tới bất kỳ luỹ thừa cố định nào của $\log n$ — cho phép tính tích phân ở đó một cách tường minh, cho ra số hạng chính $\tfrac12\mathfrak S(n)\,n^2$ trong đó $\mathfrak S(n)$, "chuỗi kỳ dị," là tích các mật độ địa phương, mỗi số nguyên tố một mật độ, đo tần suất $n$ giải được dưới dạng $p_1+p_2+p_3$ theo môđun số nguyên tố đó. Với $n$ lẻ, mọi điều kiện địa phương đều giải được (không có chướng ngại nào tương tự chướng ngại chẵn lẻ gây khó khăn cho trường hợp nhị phân), nên $\mathfrak S(n)$ bị chặn xa khỏi $0$, và số hạng chính thực sự dương và có kích thước $n^2$.

Trên các cung nhỏ, ước lượng tổng mũ của Vinogradov cho số nguyên tố — một cận rất không tầm thường $|F(\alpha)|\ll n(\log n)^4/q^{1/2}$ đúng ở đó — cho thấy đóng góp là $o(n^2)$, nhỏ hơn hẳn số hạng chính, nên không thể triệt tiêu đóng góp dương từ các cung lớn. Kết hợp cả hai cho ra số cách biểu diễn dương khi $n$ đủ lớn, đó chính là định lý năm 1937 của Vinogradov.

Việc Helfgott hoàn tất năm 2013 làm cho mọi bước trên trở nên hoàn toàn tường minh thay vì chỉ "đủ lớn": các ước lượng cung lớn và cung nhỏ sắc hơn (bao gồm các cận tường minh, được máy tính kiểm chứng, cho không điểm của hàm $L$ Dirichlet tới một độ cao cụ thể) đã lấp đầy khoảng trống giữa ngưỡng tường minh nơi lập luận giải tích hoạt động và phạm vi đã được kiểm tra trực tiếp bằng máy tính, cho ra một chứng minh không điều kiện cho đúng nghĩa mọi số lẻ $n>5$.