Kiểm định giả thuyết

Bác bỏ khi tỉ số hợp lý $L(\theta_1)/L(\theta_0)$ lớn nghĩa là bác bỏ đúng trên những kết cục tương đối phù hợp nhất với $\theta_1$ so với $\theta_0$; dùng "ngân sách" cố định $\alpha$ của rủi ro dương tính giả vào những kết cục đó, thay vì bất kỳ kết cục nào khác, mua được lượng lực phát hiện dương tính thật lớn nhất có thể.

Bước 1 (thiết lập một phép kiểm định cạnh tranh bất kỳ): cho $C$ là miền bác bỏ theo tỉ số hợp lý trong phát biểu, với hàm chỉ báo $\phi_C$, và cho $D$ là miền bác bỏ của bất kỳ phép kiểm định nào khác với $P(D \mid H_0) \leq \alpha$, với hàm chỉ báo $\phi_D$. Ta cần chỉ ra lực tại $\theta_1$ thỏa $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$.

Bước 2 (một bất đẳng thức điểm-theo-điểm then chốt): với mọi kết cục $x$, đại lượng $(\phi_C(x) - \phi_D(x)) \cdot (L(\theta_1) - k \, L(\theta_0))$ không bao giờ âm. Thật vậy, nếu $x \in C$ thì $L(\theta_1) > k \, L(\theta_0)$ và $\phi_C(x) - \phi_D(x) \geq 0$ vì $\phi_C(x) = 1$; nếu $x \notin C$ thì $L(\theta_1) \leq k \, L(\theta_0)$ và $\phi_C(x) - \phi_D(x) \leq 0$ vì $\phi_C(x) = 0$; trong cả hai trường hợp tích của hai thừa số là $\geq 0$.

Bước 3 (lấy tổng bất đẳng thức): cộng (hay lấy tích phân) đại lượng không âm này trên mọi kết cục $x$ cho $\sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_1) - k \sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_0) \geq 0$, viết lại thành $\big(P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1)\big) - k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$.

Bước 4 (dùng các mức ý nghĩa để kết luận): theo cách dựng $P(C \mid H_0) = \alpha$, và theo giả thiết $P(D \mid H_0) \leq \alpha$, nên $P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0) \geq 0$; vì $k \geq 0$, trừ đi $k$ lần một đại lượng không âm ở dấu ngoặc đầu của Bước 3 chỉ làm bất đẳng thức mạnh thêm $P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1) \geq k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$, nên $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$, như cần chứng minh.

Miền bác bỏ được dựng trực tiếp từ phân phối chính xác của $Z$ khi $H_0$ đúng, nên xác suất của nó khi $H_0$ đúng có thể tính chính xác thay vì chỉ chặn trên, cho một phép kiểm định mà tỉ lệ dương tính giả được kiểm soát chính xác ở mức $\alpha$ đã chọn, chứ không chỉ gần đúng.

Bước 1 (phân phối của $Z$ khi $H_0$ đúng): vì $X_1, \ldots, X_n$ độc lập cùng phân phối $N(\mu_0, \sigma^2)$, trung bình mẫu $\bar{X}$ có phân phối $N(\mu_0, \sigma^2/n)$, nên chuẩn hóa cho $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ chính xác.

Bước 2 (xác suất của biến cố bác bỏ): biến cố bác bỏ là $|Z| > z_{\alpha/2}$, chia thành hai biến cố rời nhau $Z > z_{\alpha/2}$ và $Z < -z_{\alpha/2}$, nên $P(|Z| > z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2}) + P(Z < -z_{\alpha/2})$.

Bước 3 (dùng tính đối xứng của phân phối chuẩn tắc): mật độ chuẩn tắc đối xứng qua $0$, nên $P(Z < -z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2})$; theo định nghĩa của $z_{\alpha/2}$, mỗi xác suất này bằng $\alpha/2$.

Bước 4 (cộng hai phần): thay vào Bước 2, $P(|Z| > z_{\alpha/2}) = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$, và vì xác suất này được tính chính xác khi $H_0$ đúng (dùng Bước 1), $P(\text{reject } H_0 \mid H_0) = \alpha$ chính xác, như đã phát biểu.