Khối đa diện và thể tích

Một chồng bài giống hệt nhau có cùng thể tích dù chồng bài thẳng đứng hay bị đẩy nghiêng thành một chồng xiên — chỉ có thiết diện của chồng bài lặp lại, chứ không phải đường viền của nó. Một hình lăng trụ chính xác là một chồng như vậy gồm vô số bản sao mỏng của đáy.

Trước hết xét một lăng trụ đứng, có các cạnh bên vuông góc với đáy. Cắt lăng trụ bằng một mặt phẳng song song với đáy ở độ cao bất kì cho một thiết diện đồng dạng (thực ra là bằng nhau) với chính đáy, diện tích $B$. Xếp chồng các thiết diện này từ độ cao $0$ đến $h$ cho thể tích $\int_0^h B\,dy = Bh$, đúng bằng $V = Bh$ cho lăng trụ đứng.

Bây giờ xét một lăng trụ xiên bất kì có cùng diện tích đáy $B$ và cùng chiều cao $h$. Đặt nó cạnh một lăng trụ đứng có cùng đáy và chiều cao đó, chung mặt phẳng chứa một đáy. Thiết diện của lăng trụ xiên ở độ cao $y$ là một bản sao tịnh tiến của đáy (tịnh tiến không làm đổi diện tích), nên nó có diện tích $B$, đúng bằng thiết diện của lăng trụ đứng ở cùng độ cao đó.

Theo nguyên lý Cavalieri, vì hai khối có diện tích thiết diện bằng nhau là $B$ tại mọi độ cao $y \in [0, h]$, chúng có thể tích bằng nhau. Vì lăng trụ đứng có thể tích $V = Bh$, lăng trụ xiên cũng vậy, chứng minh công thức cho mọi lăng trụ.

Hình chóp thu nhỏ dần về một điểm, nên phần lớn thiết diện của nó nhỏ hơn đáy rất nhiều; hệ số 1/3 chính là cái giá chính xác của sự thu nhỏ đó, và có thể xác định chính xác bằng cách cắt một lăng trụ tam giác — hình ta đã hiểu rõ — thành ba hình chóp có thể tích bằng nhau.

Bước 1 (trường hợp tam giác bằng cách chia nhỏ). Lấy một lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$, vậy thể tích của nó là $V = Bh$ theo định lý thể tích lăng trụ. Cắt nó theo hai mặt phẳng chéo $(A_1BC)$ và $(A_1BC_1)$ thành ba tứ diện: $A_1.ABC$, $A_1.BCC_1$ và $A_1.BB_1C_1$. Một tính toán ngắn cho thấy ba tứ diện này có thể tích bằng nhau: $A_1.BCC_1$ và $A_1.BB_1C_1$ cùng đỉnh $A_1$ trên hai đáy $BCC_1$ và $BB_1C_1$ là hai tam giác bằng nhau (mỗi tam giác là một nửa của cùng hình bình hành $BCC_1B_1$), nên hai tứ diện này có thể tích bằng nhau; và so sánh $A_1.ABC$ với $A_1.BCC_1$ (xem như các hình chóp đỉnh $B$ hoặc theo lập luận đáy bằng nhau dọc lăng trụ) cho thấy cả ba phần bằng nhau. Do đó mỗi tứ diện có thể tích $\frac{1}{3} \cdot V_{\text{prism}} = \frac{1}{3}Bh$. Vì $A_1.ABC$ là một hình chóp tam giác có đáy $ABC$ (diện tích $B$) và đỉnh $A_1$ ở độ cao $h$ phía trên, điều này chứng minh $V = \frac{1}{3}Bh$ cho hình chóp tam giác.

Bước 2 (Cavalieri cho hình dạng đáy bất kì). Bây giờ so sánh một hình chóp tam giác và một hình chóp có đáy bất kì khác, cả hai có cùng diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$, các đỉnh ở cùng độ cao. Tại độ cao $y$ phía trên đáy $(0 \le y \le h)$, một mặt phẳng song song với đáy cắt một hình chóp theo một bản sao của đáy được thu nhỏ theo hệ số $\left(\frac{h-y}{h}\right)$ — đây là một sự kiện đồng dạng chuẩn về phép chiếu xuyên tâm từ đỉnh. Thu nhỏ một hình phẳng theo hệ số tuyến tính $k$ làm diện tích của nó thu nhỏ theo hệ số $k^2$, nên diện tích thiết diện tại độ cao $y$ bằng $B\left(\frac{h-y}{h}\right)^2$ với mọi hình chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$, bất kể hình dạng của đáy.

Vì hai hình chóp được so sánh có diện tích thiết diện giống hệt nhau tại mọi độ cao, nguyên lý Cavalieri cho chúng thể tích bằng nhau. Vì Bước 1 đã thiết lập $V = \frac{1}{3}Bh$ cho hình chóp tam giác, cùng công thức $V = \frac{1}{3}Bh$ đúng cho hình chóp có đáy đa giác bất kì với diện tích $B$ và chiều cao $h$.

Trượt độc lập từng điểm trong ba điểm dọc theo cạnh của nó từ đỉnh sẽ kéo giãn hình chóp độc lập theo ba hướng khác nhau, nên thể tích phải thay đổi theo tích của ba hệ số kéo giãn độc lập đó, giống như việc co giãn độc lập ba cạnh của một hình hộp sẽ nhân thể tích của nó với tích của ba hệ số co giãn.

Đặt đỉnh $S$ làm gốc tọa độ và gọi $\vec{u} = \overrightarrow{SA}$, $\vec{v} = \overrightarrow{SB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{SC}$. Thể tích của tứ diện tạo bởi ba vectơ cạnh chung một đỉnh được cho bởi tích hỗn hợp $V_{S.ABC} = \frac{1}{6}\left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right|$.

Vì $A' \in SA$, $B' \in SB$, $C' \in SC$, ta có thể viết $\overrightarrow{SA'} = k_1\vec{u}$, $\overrightarrow{SB'} = k_2\vec{v}$, $\overrightarrow{SC'} = k_3\vec{w}$ với $k_1 = \frac{SA'}{SA}$, $k_2 = \frac{SB'}{SB}$, $k_3 = \frac{SC'}{SC}$. Khi đó $V_{S.A'B'C'} = \frac{1}{6}\left|(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big)\right|$.

Tích hỗn hợp là tam tuyến tính (tuyến tính theo từng vectơ trong ba vectơ), nên $(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big) = k_1 k_2 k_3 \left(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right)$. Lấy giá trị tuyệt đối và chia cả hai vế cho 6, ta được $V_{S.A'B'C'} = k_1k_2k_3 \cdot V_{S.ABC}$, sắp xếp lại chính xác thành $\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA}\cdot\dfrac{SB'}{SB}\cdot\dfrac{SC'}{SC}$.