Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1965

Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer

Còn mởMillennium

Với đường cong elliptic $E$ trên $\mathbb{Q}$ có hàm $L$ Hasse–Weil $L(E,s)$ , hạng của nhóm Mordell–Weil $E(\mathbb{Q})$ bằng bậc không điểm của $L(E,s)$ tại $s=1$ : $\operatorname{rank} E(\mathbb{Q}) = \operatorname{ord}_{s=1} L(E,s).$ Giả thuyết tinh chỉnh còn dự đoán hệ số Taylor đầu tiên của $L(E,s)$ tại $s=1$ , biểu diễn qua bậc của nhóm Tate–Shafarevich $Ш(E)$ , bộ điều chỉnh (regulator), chu kỳ thực, các số Tamagawa và bậc nhóm con xoắn.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, phần hạng của BSD chỉ được chứng minh cho đường cong elliptic có hạng giải tích 0 hoặc 1 (Gross–Zagier, Kolyvagin, kết hợp với tính modular); với hạng giải tích 2 trở lên, gần như chưa biết gì một cách vô điều kiện. Kết quả thống kê (Bhargava–Skinner–Zhang) cho thấy phần lớn đường cong elliptic trên $\mathbb{Q}$ , xếp theo chiều cao, rơi vào trường hợp hạng 0/1 đã biết, nhưng điều này không nói gì về một đường cong hạng cao cụ thể. Công thức tinh chỉnh cho hệ số đầu của hàm L, kể cả tính hữu hạn của nhóm Tate–Shafarevich nói chung, vẫn còn là giả thuyết.

Kết quả tốt nhất đã biết

Gross–Zagier (1986) cộng Kolyvagin (1989), kết hợp với tính modular (Wiles và cộng sự, hoàn thành bởi Breuil–Conrad–Diamond–Taylor, 2001): phần hạng của BSD đúng khi hạng giải tích là 0 hoặc 1.
Bhargava–Skinner–Zhang (2014): hơn 66% đường cong elliptic trên $\mathbb{Q}$ , xếp theo chiều cao, thỏa mãn phần hạng của BSD và có nhóm Tate–Shafarevich hữu hạn.
Với đường cong hạng giải tích ≥ 2, gần như chưa biết gì một cách vô điều kiện, vì hệ Euler từ điểm Heegner chưa có phiên bản tương tự ở đó.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Điểm Heegner và hệ Euler (Gross–Zagier, Kolyvagin)	Chứng minh phần hạng của BSD cho hạng giải tích 0 và 1	Cách xây dựng này chưa có phiên bản tương tự cho hạng giải tích ≥ 2
Giả thuyết chính Iwasawa (Skinner–Urban) và đếm bằng hình học số (Bhargava–Shankar)	Cho thấy phần lớn đường cong elliptic, xếp theo chiều cao, thỏa mãn BSD	Không cho biết gì về một đường cong hạng cao cụ thể

Câu hỏi còn mở

Phần hạng của BSD có đúng với mọi đường cong elliptic hạng giải tích ≥ 2 hay không?
Nhóm Tate–Shafarevich có hữu hạn với mọi đường cong elliptic trên $\mathbb{Q}$ hay không, và công thức BSD tinh chỉnh đầy đủ có đúng nói chung hay không?

Tài liệu tham khảo

Bryan J. Birch, H.P.F. Swinnerton-Dyer (1965). Notes on elliptic curves. II.
Benedict H. Gross, Don B. Zagier (1986). Heegner points and derivatives of L-series
Victor A. Kolyvagin (1990). Euler systems
Manjul Bhargava, Christopher Skinner, Wei Zhang (2014). A majority of elliptic curves over Q satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture · arXiv:1407.1826 [preprint, chưa bình duyệt]