Bài toán mở, Đại số, nêu năm 1892

Bài toán Galois ngược

Còn mở

Mọi nhóm hữu hạn $G$ có luôn xuất hiện dưới dạng nhóm Galois $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ của một mở rộng Galois hữu hạn $K$ nào đó trên trường số hữu tỷ $\mathbb{Q}$ hay không?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, bài toán Galois ngược tổng quát trên $\mathbb{Q}$ vẫn còn mở. Mọi nhóm giải được đã được hiện thực hóa (Shafarevich 1954), và một preprint tháng 8 năm 2026 của Huang, Jackson, Lee, Poonen, Pries và Zhang đã hoàn tất chương trình nhóm bất thường bằng cách hiện thực hóa nhóm cuối cùng còn sót lại là nhóm Mathieu $M_{23}$ thông qua bộ ba lớp liên hợp không cứng và tính toán ánh xạ Belyi số. Tuy nhiên, các họ vô hạn nhóm đơn hữu hạn kiểu Lie (như $\operatorname{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$ với $n$ và $q$ tùy ý) cùng các mở rộng nhóm không giải được tổng quát vẫn nằm ngoài tầm với.

Kết quả tốt nhất đã biết

Mọi nhóm hữu hạn giải được đều là nhóm Galois trên $\mathbb{Q}$ (Shafarevich 1954).
Tất cả 26 nhóm đơn hữu hạn bất thường đều hiện thực hóa được trên $\mathbb{Q}$ : 25 nhóm bằng phương pháp độ cứng (Thompson, Matzat, Malle, Pahlings và cộng sự, 1984–1989) và nhóm $M_{23}$ trong một preprint năm 2026 của Huang, Jackson, Lee, Poonen, Pries và Zhang.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Định lý bất khả quy Hilbert và phương pháp độ cứng của Thompson	Xây dựng các mở rộng Galois chính quy của $\mathbb{Q}(t)$ từ các bộ lớp liên hợp hữu tỷ cứng trong $G$ , hiện thực hóa được $S_n$ , $A_n$ , 25 nhóm bất thường và nhiều nhóm cổ điển kiểu Lie	Nhiều nhóm đơn kiểu Lie trên trường hữu hạn $\mathbb{F}_{p^r}$ tùy ý không có bộ lớp liên hợp hữu tỷ cứng, và tính cứng không tự động nâng lên được qua các mở rộng nhóm tổng quát
Bài toán nhúng đối đồng điều và biểu diễn Galois vá	Giải bài toán Galois ngược cho mọi nhóm giải được (Shafarevich) và hiện thực hóa các nhóm tuyến tính $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_{p^r})$ cho một số lớp đồng dư nhờ dạng môđun và biểu diễn tự đẳng cấu	Cản trở Brauer–Manin và việc thiếu các định lý nâng tự đẳng cấu tổng quát ngăn cản việc hiện thực hóa đồng loạt mọi mở rộng phi giao hoán và các nhóm kiểu Lie hạng cao

Câu hỏi còn mở

Liệu mọi nhóm đơn hữu hạn — đặc biệt là $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_{p^r})$ với mọi số nguyên tố $p$ và số mũ $r \ge 1$ — có thể hiện thực hóa làm nhóm Galois chính quy trên $\mathbb{Q}(t)$ hay không?

Tài liệu tham khảo

Jean-Pierre Serre (1992). Topics in Galois Theory
Gunter Malle, B. Heinrich Matzat (1999). Inverse Galois Theory · DOI:10.1007/978-3-662-12123-8
Xiaoyu Huang, Blake Jackson, Kyu-Hwan Lee, Bjorn Poonen, Rachel Pries, Shaowu Zhang (2026). The Mathieu group M23 is a Galois group over Q · arXiv:2608.08538 [preprint, chưa bình duyệt]