Bài toán mở, Phương trình vi phân và Hệ động lực, nêu năm 2000

Sự tồn tại và độ trơn của nghiệm Navier–Stokes

Còn mởMillenniumSmale #15

Với hệ phương trình Navier–Stokes không nén trong $\mathbb{R}^3$ , $\partial_t u_i + \sum_{j=1}^3 u_j \partial_j u_i = \nu \Delta u_i - \partial_i p, \qquad \operatorname{div} u = 0,$ cho vận tốc ban đầu $u_0$ trơn, không phân kỳ, giảm nhanh ở vô cùng: có luôn tồn tại nghiệm trơn $(u,p)$ với năng lượng động học bị chặn toàn cục với mọi $t \ge 0$ hay không? Hay một nghiệm trơn có thể sinh kỳ dị trong thời gian hữu hạn?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, bài toán vẫn hoàn toàn mở ở cả bốn trường hợp Clay nêu ra. Nghiệm yếu (Leray–Hopf) được biết tồn tại toàn cục, và lý thuyết chính quy từng phần chặn kích thước tập kỳ dị tiềm năng, nhưng chưa ai chứng minh được độ trơn toàn cục hay tìm được ví dụ bùng nổ thực sự. Các tiêu chuẩn chính quy có điều kiện (như Prodi–Serrin, Beale–Kato–Majda) cho thấy độ trơn sẽ theo sau nếu một số chuẩn của nghiệm luôn bị chặn, nhưng hiện chưa ai đảm bảo được điều đó.

Kết quả tốt nhất đã biết

Nghiệm yếu Leray–Hopf tồn tại toàn cục theo thời gian với mọi dữ liệu ban đầu năng lượng hữu hạn, nhưng tính duy nhất và độ trơn vẫn chưa rõ.
Caffarelli–Kohn–Nirenberg (1982): tập kỳ dị có thể có số chiều Hausdorff parabolic không quá 1 trong không-thời gian.
Tiêu chuẩn chính quy có điều kiện (Prodi–Serrin, Beale–Kato–Majda) đảm bảo độ trơn nếu một số chuẩn của vận tốc hoặc xoáy luôn bị chặn, nhưng chưa ai biết trước các chặn đó có đúng hay không.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Phương pháp năng lượng / nghiệm yếu Leray–Hopf	Tồn tại toàn cục theo thời gian nghiệm yếu với năng lượng bị chặn	Chưa biết tính duy nhất và độ trơn của các nghiệm yếu này
Lý thuyết chính quy từng phần (Caffarelli–Kohn–Nirenberg)	Chặn kích thước của tập kỳ dị có thể có	Không loại trừ hoàn toàn kỳ dị, cũng không chứng minh được độ trơn toàn cục

Câu hỏi còn mở

Nghiệm trơn có tồn tại với mọi thời gian từ mọi điều kiện ban đầu trơn, hay có thể bùng nổ trong thời gian hữu hạn?
Nghiệm yếu Leray–Hopf có duy nhất hay không?

Tài liệu tham khảo

Charles L. Fefferman (Clay Mathematics Institute) (2000). Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation
Jean Leray (1934). Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace
Luis Caffarelli, Robert Kohn, Louis Nirenberg (1982). Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations