Bao hàm và loại trừ cho hai tập hợp

Chia $A\cup B$ thành ba phần rời nhau đôi một: $A\setminus B$ (chỉ thuộc $A$), $B\setminus A$ (chỉ thuộc $B$), và $A\cap B$ (thuộc cả hai). Vì các phần này rời nhau và phủ kín $A\cup B$, nên $|A\cup B|=|A\setminus B|+|B\setminus A|+|A\cap B|$.

Bây giờ để ý rằng $A$ tự nó chia thành hai phần rời nhau $A\setminus B$ và $A\cap B$, nên $|A|=|A\setminus B|+|A\cap B|$, tức $|A\setminus B|=|A|-|A\cap B|$. Tương tự, $|B\setminus A|=|B|-|A\cap B|$.

Thay hai biểu thức này vào phương trình đầu, ta được $|A\cup B|=(|A|-|A\cap B|)+(|B|-|A\cap B|)+|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cap B|$, chính là $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.