CRT dưới dạng đẳng cấu vành và tính nhân của $\varphi$

Thứ nhất, $\psi$ xác định tốt: nếu $x\equiv x'\pmod{m_1 m_2}$ thì $m_1 m_2\mid(x-x')$, nên cả $m_1$ và $m_2$ đều chia hết $x-x'$, nghĩa là $x\equiv x'\pmod{m_1}$ và $x\equiv x'\pmod{m_2}$.

Thứ hai, $\psi$ bảo toàn phép cộng và phép nhân ở từng tọa độ vì phép rút gọn theo môđun $m_i$ bảo toàn chúng (đã chứng minh ở chủ đề đầu về đồng dư), nên $\psi$ là một đồng cấu vành.

Thứ ba, Định lý 1 ở trên nói chính xác rằng với mỗi cặp $(a_1,a_2)$ đều có một $x$ ánh xạ tới nó (nên $\psi$ toàn ánh) và $x$ đó duy nhất theo môđun $m_1 m_2$ (nên $\psi$ đơn ánh). Do đó $\psi$ là song ánh và vì thế là đẳng cấu vành.

Cuối cùng, trong vành tích $R_1\times R_2$, một phần tử $(u_1,u_2)$ có nghịch đảo nhân $(v_1,v_2)$ khi và chỉ khi $u_1 v_1=1$ trong $R_1$ và $u_2 v_2=1$ trong $R_2$ — tức khi và chỉ khi cả hai tọa độ đều khả nghịch. Vì đẳng cấu vành bảo toàn tính khả nghịch, các phần tử khả nghịch của $\mathbb{Z}/(m_1 m_2)\mathbb{Z}$ (có $\varphi(m_1 m_2)$ phần tử) tương ứng song ánh với các cặp phần tử khả nghịch trong $(\mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/m_2\mathbb{Z})$ (có $\varphi(m_1)\,\varphi(m_2)$ cặp). Đếm hai vế cho $\varphi(m_1 m_2)=\varphi(m_1)\,\varphi(m_2)$. Kết hợp với $\varphi(p^r)=p^r-p^{r-1}$ cho lũy thừa nguyên tố (nơi các số không nguyên tố cùng nhau chỉ là $p^{r-1}$ bội của $p$), điều này lập tức suy ra công thức tích tổng quát cho $\varphi(n)$ đã dùng ở chủ đề trước. $\blacksquare$