Định lý Stokes

Bước 1 (trường hợp cục bộ, nửa không gian). Trước hết giả sử $M = \mathbb{H}^n = \{x_n \ge 0\}$ và $\omega$ có giá compact trong một bản đồ duy nhất. Viết $\omega = \sum_i f_i\, dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_n$. Khi đó $d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$, và $\int_{\mathbb{H}^n} d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\int \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\,dx_1\cdots dx_n$.

Với $i < n$, lấy tích phân $\partial f_i/\partial x_i$ theo $x_i \in \mathbb{R}$ trước và dùng giá compact cho $0$ theo Định lý cơ bản giải tích thông thường ($f_i \to 0$ tại $x_i=\pm\infty$). Với $i=n$, lấy tích phân theo $x_n \in [0,\infty)$ cho $\int \frac{\partial f_n}{\partial x_n}dx_n = [f_n]_0^\infty = -f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)$ (lại dùng giá compact tại $x_n=\infty$), nên chỉ số hạng $i=n$ tồn tại: $\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = (-1)^{n-1}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left(-f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)\right)dx_1\cdots dx_{n-1}$.

Trên biên $\partial\mathbb{H}^n = \{x_n=0\}$ (định hướng sao cho pháp tuyến ngoài $-\partial_n$ đứng cuối, cho dấu định hướng $(-1)^n$), hạn chế của $\omega$ là $\omega|_{\partial} = f_n\, dx_1\wedge\cdots\wedge dx_{n-1}$ (mọi số hạng khác hạn chế về $0$ vì chứa $dx_n$ hoặc triệt tiêu trên lát cắt). Kiểm tra dấu trực tiếp theo quy ước định hướng biên chuẩn cho $\int_{\partial \mathbb{H}^n}\omega = (-1)^n \int f_n\,dx_1\cdots dx_{n-1}$, khớp chính xác công thức trên. Vậy $\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = \int_{\partial\mathbb{H}^n}\omega$ trong mô hình cục bộ này.

Bước 2 (phân hoạch đơn vị, toàn cục hóa). Với $M$ tổng quát và $\omega$ tổng quát, phủ $M$ bởi hữu hạn bản đồ $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ (dùng tính compact) và chọn phân hoạch đơn vị trơn $\{\rho_\alpha\}$ phụ thuộc phủ này, tức $\sum_\alpha \rho_\alpha = 1$ với $\operatorname{supp}\rho_\alpha \subset U_\alpha$. Viết $\omega = \sum_\alpha \rho_\alpha\omega$; mỗi $\rho_\alpha\omega$ có giá compact trong một bản đồ duy nhất, mà bản đồ này hoặc hoàn toàn nằm trong phần trong (khi đó $\int_{\partial}\rho_\alpha\omega = 0$ tầm thường và $\int_M d(\rho_\alpha\omega)=0$ theo Bước 1 áp dụng cho $\mathbb{R}^n$ không biên) hoặc gặp $\partial M$ (Bước 1 áp dụng trực tiếp sau khi chuyển qua $\varphi_\alpha$, giữ nguyên cả $d$ lẫn định hướng).

Vì $d$ tuyến tính, $d\omega = \sum_\alpha d(\rho_\alpha\omega)$ (dùng $\sum_\alpha d\rho_\alpha = d(\sum_\alpha \rho_\alpha) = d(1) = 0$ để xử lý đúng các số hạng chéo $d\rho_\alpha \wedge \omega$ khi cộng lại). Lấy tích phân và cộng các đẳng thức cục bộ từ Bước 1 trên mọi $\alpha$: $\int_M d\omega = \sum_\alpha \int_M d(\rho_\alpha\omega) = \sum_\alpha \int_{\partial M} \rho_\alpha\omega = \int_{\partial M}\omega$, chính xác là $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$.