Định lý không điểm Hilbert

Bước 1 (định lý không điểm dạng yếu, dùng làm đầu vào). Vì $k$ đóng đại số, mọi ideal tối đại của $k[x_1,\ldots,x_n]$ có dạng $(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)$ với một điểm $(a_1,\ldots,a_n) \in k^n$; điều này chứng minh qua Bổ đề Zariski (một trường sinh hữu hạn như một đại số trên $k$ là một mở rộng trường hữu hạn của $k$, do đó bằng $k$ vì $k$ đóng đại số). Do đó, nếu $J \ne (1)$ thì $J$ nằm trong một ideal tối đại nào đó, nên $V(J) \ne \emptyset$.

Bước 2 (bao hàm dễ, $\sqrt{J} \subseteq I(V(J))$). Nếu $f^m \in J$ với $m$ nào đó, thì $f^m$ triệt tiêu tại mọi điểm của $V(J)$, buộc chính $f$ cũng triệt tiêu ở đó (tích các phần tử trường bằng $0$ chỉ khi một thừa số bằng $0$), nên $f \in I(V(J))$.

Bước 3 (thủ thuật Rabinowitsch cho bao hàm ngược). Cho $f \in I(V(J))$. Đưa vào một biến mới $y$ và lập $J' = J + (1 - yf) \subseteq k[x_1,\ldots,x_n,y]$. Bất kỳ điểm nào của $V(J')$ đều phải nằm trong $V(J)$ (để thỏa các phần tử sinh của $J$) đồng thời thỏa $1-yf=0$; nhưng $f$ triệt tiêu trên toàn $V(J)$, làm $1-yf=1$ ở đó, không bao giờ bằng $0$. Do đó $V(J') = \emptyset$, nên theo Bước 1 (phản đảo), $J' = (1)$: tồn tại các đa thức với $1 = h(x,y)(1-yf) + \sum_i g_i(x,y) J_i(x)$ với $J_i$ là các phần tử sinh của $J$.

Bước 4 (khử mẫu số). Thay $y = 1/f$ hình thức vào đẳng thức này (làm việc trong $k[x_1,\ldots,x_n][1/f]$) — số hạng với $h$ triệt tiêu vì $1-yf$ trở thành $0$, còn lại $1 = \sum_i g_i(x,1/f) J_i(x)$. Nhân cả hai vế với lũy thừa đủ cao $f^m$ để khử mọi mẫu số $f$ do $g_i$ tạo ra, cho $f^m = \sum_i \tilde g_i(x) J_i(x) \in J$ với các đa thức $\tilde g_i$, tức $f \in \sqrt{J}$. Kết hợp với Bước 2, $I(V(J)) = \sqrt{J}$, và lấy căn hai vế khi $J=\sqrt J$ cho hệ quả đã nêu $\sqrt{I(V(J))} = J$.