Luật quán tính Sylvester

Giả sử $Q$ được chéo hóa trong hai cơ sở $\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}$ và $\{\mathbf{f}_1,\dots,\mathbf{f}_n\}$, với số lượng hệ số dương, âm, bằng không là $(n_+, n_-, n_0)$ trong cơ sở thứ nhất và $(p_+, p_-, p_0)$ trong cơ sở thứ hai. Sắp thứ tự mỗi cơ sở sao cho các hệ số dương đứng trước, rồi đến âm, rồi đến không.

Giả sử phản chứng rằng $n_+ > p_+$. Đặt $V_+ = \mathrm{span}(\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_{n_+})$, một không gian con chiều $n_+$ mà trên đó $Q(\mathbf{x}) > 0$ với mọi $\mathbf{x} \in V_+$ khác không (vì chỉ các bình phương dương trong khai triển theo $\mathbf{e}$ xuất hiện trên $V_+$).

Tương tự, đặt $W_- = \mathrm{span}(\mathbf{f}_{p_+ + 1},\dots,\mathbf{f}_n)$, một không gian con chiều $n - p_+$ mà trên đó $Q(\mathbf{x}) \le 0$ với mọi $\mathbf{x} \in W_-$ (vì chỉ các bình phương âm và bằng không trong khai triển theo $\mathbf{f}$ xuất hiện trên $W_-$).

Bây giờ đếm số chiều trong $\mathbb{R}^n$: vì $n_+ > p_+$, ta có $\dim V_+ + \dim W_- = n_+ + (n - p_+) > n$. Theo công thức số chiều cho không gian con, hai không gian con có tổng số chiều lớn hơn $n$ không thể có giao tầm thường; do đó tồn tại một vectơ khác không $\mathbf{v} \in V_+ \cap W_-$.

Vì $\mathbf{v} \in V_+$ và $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$, ta phải có $Q(\mathbf{v}) > 0$; vì $\mathbf{v} \in W_-$, ta đồng thời phải có $Q(\mathbf{v}) \le 0$, mâu thuẫn trực tiếp. Vậy $n_+ \le p_+$, và do tính đối xứng giữa hai cơ sở nên $p_+ \le n_+$, suy ra $n_+ = p_+$. Áp dụng lập luận y hệt cho $-Q$ cho $n_- = p_-$, và cuối cùng $n_0 = n - n_+ - n_- = p_0$.