Math Labs
Định lýĐã chứng minh

Phổ rời rạc của dao động tử điều hòa lượng tử

Phát biểu

Hamiltonian H^=P^22m+12mω2X^2\hat H=\dfrac{\hat P^2}{2m}+\dfrac12 m\omega^2\hat X^2, với [X^,P^]=iℏ[\hat X,\hat P]=i\hbar, có phổ rời rạc, không suy biến En=ℏω(n+12)E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac12\right), n=0,1,2,…n=0,1,2,\dots.

Vì sao đúng?

Thay vì giải trực tiếp một phương trình vi phân, ta phân tích Hamiltonian một cách đại số thành toán tử "nâng" và "hạ", giống hệt cách phân tích một dạng toàn phương. Tính không âm của toán tử số thu được, cùng với đại số cho biết các toán tử thang bậc dịch chuyển trị riêng của nó một đơn vị, buộc các trị riêng phải tạo thành một thang cách đều bắt đầu từ một bậc thấp nhất không âm — sự lượng tử hóa năng lượng chỉ đến từ đại số thuần túy.

Phác thảo chứng minh

Bước 1 (toán tử thang bậc). Đặt a^=mω2ℏ(X^+imωP^)\hat a=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat X+\tfrac{i}{m\omega}\hat P\right) và a^†=mω2ℏ(X^−imωP^)\hat a^\dagger=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat X-\tfrac{i}{m\omega}\hat P\right). Dùng [X^,P^]=iℏ[\hat X,\hat P]=i\hbar, tính trực tiếp ta được [a^,a^†]=mω2ℏ(−imω[X^,P^]+imω[P^,X^])=12ℏ(ℏ+ℏ)=1[\hat a,\hat a^\dagger]=\tfrac{m\omega}{2\hbar}\left(\tfrac{-i}{m\omega}[\hat X,\hat P]+\tfrac{i}{m\omega}[\hat P,\hat X]\right)=\tfrac{1}{2\hbar}\left(\hbar+\hbar\right)=1.

Bước 2 (viết lại Hamiltonian). Nghịch đảo lại, X^=ℏ2mω(a^+a^†)\hat X=\sqrt{\tfrac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a+\hat a^\dagger) và P^=imωℏ2(a^†−a^)\hat P=i\sqrt{\tfrac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a^\dagger-\hat a); thay vào H^=P^22m+12mω2X^2\hat H=\tfrac{\hat P^2}{2m}+\tfrac12 m\omega^2\hat X^2 và dùng [a^,a^†]=1[\hat a,\hat a^\dagger]=1 để sắp lại thứ tự các số hạng, ta được H^=ℏω(a^†a^+12)\hat H=\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac12\right). Đặt toán tử số N^=a^†a^\hat N=\hat a^\dagger\hat a; toán tử này tự liên hợp, và với mọi trạng thái ϕ\phi, ⟨ϕ∣N^∣ϕ⟩=∥a^ϕ∥2≥0\langle\phi|\hat N|\phi\rangle=\|\hat a\phi\|^2\ge0, nên mọi trị riêng nn của N^\hat N thỏa n≥0n\ge0.

Bước 3 (hệ thức thang bậc). Từ [a^,a^†]=1[\hat a,\hat a^\dagger]=1 ta có [N^,a^]=−a^[\hat N,\hat a]=-\hat a và [N^,a^†]=a^†[\hat N,\hat a^\dagger]=\hat a^\dagger. Vậy nếu N^∣n⟩=n∣n⟩\hat N|n\rangle=n|n\rangle thì N^a^=a^N^−a^=a^(N^−1)\hat N\hat a=\hat a\hat N-\hat a=\hat a(\hat N-1), cho N^(a^∣n⟩)=(n−1)(a^∣n⟩)\hat N(\hat a|n\rangle)=(n-1)(\hat a|n\rangle): a^\hat a làm giảm trị riêng đi 11 (hoặc triệt tiêu trạng thái), và a^†\hat a^\dagger làm tăng trị riêng thêm 11.

Bước 4 (sự dừng lại và phổ). Vì N^≥0\hat N\ge0, áp dụng a^\hat a liên tiếp lên một trạng thái riêng bất kỳ không thể tạo ra trị riêng nhỏ hơn 00; chuỗi giảm dần n,n−1,n−2,…n,n-1,n-2,\dots phải dừng tại n=0n=0 (một giá trị khởi đầu không nguyên sẽ buộc xuất hiện một trị riêng âm sau hữu hạn bước, mâu thuẫn), nên mọi trị riêng của N^\hat N là số nguyên không âm, và trạng thái cơ bản ∣0⟩|0\rangle thỏa a^∣0⟩=0\hat a|0\rangle=0. Áp dụng a^†\hat a^\dagger liên tiếp lên ∣0⟩|0\rangle tạo ra các trạng thái riêng chuẩn hóa được ∣n⟩∝(a^†)n∣0⟩|n\rangle\propto(\hat a^\dagger)^n|0\rangle cho mọi n=0,1,2,…n=0,1,2,\dots, và không còn trạng thái nào khác. Thay N^∣n⟩=n∣n⟩\hat N|n\rangle=n|n\rangle vào H^=ℏω(N^+12)\hat H=\hbar\omega(\hat N+\tfrac12) ta được En=ℏω(n+12)E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac12\right).

Chủ đề chứa định lý này

Cơ sở toán học của cơ học lượng tử

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

  1. John von Neumann (1955). Mathematical Foundations of Quantum Mechanics
  2. Howard P. Robertson (1929). The Uncertainty Principle · DOI:10.1103/PhysRev.34.163
  3. Marshall H. Stone (1932). On One-Parameter Unitary Groups in Hilbert Space · DOI:10.2307/1968538