Nghiệm tổng quát từ trị riêng thực phân biệt

Trước tiên kiểm tra $e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ thỏa mãn hệ: đạo hàm của nó là $\lambda_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$, còn $A(e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i)=e^{\lambda_i t}A\mathbf{v}_i=e^{\lambda_i t}\lambda_i\mathbf{v}_i$ theo $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$; hai vế khớp nhau, nên đây đúng là nghiệm với $i=1,2$.

Độc lập tuyến tính của $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$: giả sử $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$. Nhân $A$ vào ta được $c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+c_2\lambda_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$. Nhân hệ thức đầu với $\lambda_2$ rồi trừ đi, ta được $c_1(\lambda_1-\lambda_2)\mathbf{v}_1=\mathbf{0}$; vì $\lambda_1\neq\lambda_2$ và $\mathbf{v}_1\neq\mathbf{0}$ nên $c_1=0$, rồi $c_2=0$. Vậy $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ độc lập.

Theo tính tuyến tính của hệ (giống hệt trường hợp vô hướng), mọi tổ hợp $c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$ đều thỏa mãn hệ. Vì $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ độc lập, khớp với điều kiện đầu bất kỳ $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ nghĩa là giải $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{x}_0$ theo $(c_1,c_2)$, có nghiệm duy nhất vì $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ là cơ sở của mặt phẳng. Vậy mọi nghiệm đều được bao quát, cho nghiệm tổng quát $\mathbf{x}(t)=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$.