Định danh trích xuất (dùng trực giao)

Trước hết, dùng hệ thức trực giao: $\int_0^1 e(m\alpha)\, d\alpha$$=1$ nếu $m=0$, và $=0$ nếu $m\neq 0$: viết $e(m\alpha)=\cos(2\pi m\alpha)+i\sin(2\pi m\alpha)$, khi $m\neq0$ đây là trọn vẹn một số nguyên chu kỳ của sóng sin/cos trên $[0,1)$ nên tích phân bằng $0$; khi $m=0$ hàm dưới dấu tích phân là hằng số $1$.

Bây giờ khai triển luỹ thừa $k$ của hàm sinh: $F_A(\alpha)^k=\Big(\sum_{a\in A}e(a\alpha)\Big)^k=\sum_{(a_1,\dots,a_k)\in A^k} e\big((a_1+\cdots+a_k)\alpha\big)$, một tổng hữu hạn trên mọi bộ $k$ phần tử có thứ tự lấy từ $A$, nhóm theo số mũ $m=a_1+\cdots+a_k$.

Nhân cả hai vế với $e(-n\alpha)$ rồi lấy tích phân từng số hạng trên $[0,1)$ (hợp lệ vì tổng hữu hạn nên tích phân và tổng giao hoán được): $\int_0^1 F_A(\alpha)^k e(-n\alpha)\,d\alpha=\sum_{(a_1,\dots,a_k)\in A^k}\int_0^1 e\big((a_1+\cdots+a_k-n)\alpha\big)\,d\alpha$.

Theo hệ thức trực giao, mỗi số hạng bên phải bằng $1$ đúng khi $a_1+\cdots+a_k=n$ và bằng $0$ trong mọi trường hợp khác. Vậy toàn bộ tổng suy biến về đúng số bộ có $a_1+\cdots+a_k=n$, tức là $r_k(n)$. Điều này chứng minh định danh một cách chính xác tuyệt đối, không hề xấp xỉ: đây là một đẳng thức, không phải một công thức tiệm cận.