Nguyên lý quy nạp siêu hạn

Giả sử phản chứng $C$ không chứa mọi số thứ tự. Khi đó lớp $D$ gồm các số thứ tự không thuộc $C$ là khác rỗng. Bản thân các số thứ tự lập thành một sắp tốt (mọi lớp khác rỗng gồm các số thứ tự đều có phần tử nhỏ nhất — đây chính là tính chất định nghĩa của số thứ tự), nên $D$ có phần tử nhỏ nhất; gọi nó là $\alpha$.

Do tính nhỏ nhất của $\alpha$, mọi số thứ tự $\beta<\alpha$ đều không thuộc $D$, tức mọi $\beta<\alpha$ thỏa $\beta \in C$.

Nhưng đây chính là giả thiết của định lý áp dụng cho $\alpha$: "$\beta \in C$ với mọi $\beta<\alpha$" kéo theo $\alpha \in C$. Vậy $\alpha \in C$.

Điều này mâu thuẫn với $\alpha \in D$ (tức $\alpha \notin C$). Mâu thuẫn này cho thấy không tồn tại số $\alpha$ phản ví dụ nhỏ nhất như vậy, nên $D=\emptyset$: $C$ chứa mọi số thứ tự. $\blacksquare$