Định lý Seifert–van Kampen

Chứng minh đầy đủ đòi hỏi ghi chép tổ hợp cẩn thận; đây là dàn ý cấu trúc. Bước 1 — Phần tử sinh. Bất kỳ vòng $\gamma$ nào trong $X$ gốc tại $x_0$ đều có thể chia thành hữu hạn đường con, mỗi đường nằm hoàn toàn trong $U$ hoặc hoàn toàn trong $V$ (dùng lập luận số Lebesgue trên phủ mở $\{\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)\}$ của đoạn compact $[0,1]$), nên $[\gamma]$ có thể viết thành tích các vòng mỗi vòng đại diện một phần tử của $\pi_1(U,x_0)$ hoặc $\pi_1(V,x_0)$ (sau khi nối các điểm cuối đường con về $x_0$ qua các đường đã chọn trong $U \cap V$, vốn liên thông đường). Điều này cho thấy $\pi_1(X,x_0)$ được sinh bởi ảnh của $\pi_1(U,x_0)$ và $\pi_1(V,x_0)$.

Bước 2 — Quan hệ. Bất kỳ vòng $\delta$ nào nằm trong $U \cap V$ biểu diễn, tiên nghiệm, hai phần tử có thể khác nhau: $i_U(\delta) \in \pi_1(U,x_0)$ (nhìn $\delta$ như vòng trong $U$) và $i_V(\delta) \in \pi_1(V,x_0)$ (nhìn nó như vòng trong $V$). Vì $\delta$ đúng là cùng một vòng trong $X$, ảnh của nó qua $\pi_1(U) \to \pi_1(X)$ và $\pi_1(V) \to \pi_1(X)$ phải khớp nhau; điều này buộc chính xác các quan hệ hỗn hợp $i_U(\delta) = i_V(\delta)$ với mọi $[\delta] \in \pi_1(U \cap V, x_0)$.

Bước 3 — Không còn quan hệ nào khác. Một lập luận tinh tế hơn (chia đồng luân $H: [0,1]\times[0,1] \to X$ theo cùng cách, dùng tính compact của hình vuông để có một lưới hữu hạn mà mỗi ô nằm trong $U$ hoặc $V$) cho thấy các quan hệ hỗn hợp này là duy nhất các quan hệ cần thiết: hai từ bất kỳ trong các phần tử sinh biểu diễn cùng một phần tử của $\pi_1(X,x_0)$ có thể liên hệ bằng một dãy hữu hạn các bước, mỗi bước được biện minh bởi một quan hệ hỗn hợp. Điều này đồng nhất $\pi_1(X,x_0)$ chính xác với tích tự do hỗn hợp.