Tỉ số độ dài và diện tích qua phép vị tự

Theo định nghĩa phép vị tự, $\overrightarrow{IA'} = k\,\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB'} = k\,\overrightarrow{IB}$. Trừ phương trình vectơ thứ hai khỏi phương trình thứ nhất ta được $\overrightarrow{IA'} - \overrightarrow{IB'} = k(\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB})$.

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ $\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{BA}$ cho cả hai vế, ta thu được $\overrightarrow{B'A'} = k\,\overrightarrow{BA}$. Lấy độ dài hai vế lập tức cho $A'B' = |\overrightarrow{B'A'}| = |k| \cdot |\overrightarrow{BA}| = |k| \cdot AB$.

Bây giờ xét tam giác bất kỳ $ABC$. Đường cao $h$ hạ từ $C$ xuống đường thẳng $AB$ là khoảng cách giữa $C$ và hình chiếu vuông góc $H$ của nó trên $AB$. Vì phép vị tự bảo toàn tính song song và góc nên nó bảo toàn tính vuông góc, do đó $H' = V_{(I,k)}(H)$ là chân đường cao của $A'B'C'$. Như vậy cả cạnh đáy $A'B' = |k|\cdot AB$ lẫn đường cao $C'H' = |k|\cdot CH$ đều nhân với $|k|$, suy ra $[A'B'C'] = \tfrac{1}{2} A'B' \cdot C'H' = |k|^2 \cdot \tfrac{1}{2} AB \cdot CH = k^2 \cdot [ABC]$.