Vectơ riêng ứng với các trị riêng phân biệt là độc lập tuyến tính

Ta chứng minh bằng quy nạp theo $k$. Với $k = 1$, khẳng định hiển nhiên đúng: một vectơ khác không luôn độc lập tuyến tính.

Giả sử kết quả đúng với $k - 1$ trị riêng phân biệt, và giả sử phản chứng rằng $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$ phụ thuộc tuyến tính. Khi đó tồn tại hệ thức $c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ với không phải mọi $c_i$ đều bằng không.

Áp dụng $A$ vào hai vế: vì $A\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i$, ta được $c_1 \lambda_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_k \lambda_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$. Nhân hệ thức ban đầu với $\lambda_k$ rồi trừ đi phương trình mới này; các số hạng chứa $\mathbf{v}_k$ triệt tiêu chính xác, còn lại $c_1(\lambda_1 - \lambda_k)\mathbf{v}_1 + \cdots + c_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k)\mathbf{v}_{k-1} = \mathbf{0}$.

Theo giả thiết quy nạp, $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_{k-1}$ độc lập tuyến tính, nên mọi hệ số trong hệ thức cuối phải triệt tiêu: $c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0$ với mọi $i < k$. Vì các trị riêng phân biệt từng đôi, $\lambda_i - \lambda_k \neq 0$, buộc $c_i = 0$ với mọi $i < k$.

Thay ngược lại hệ thức ban đầu chỉ còn $c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$; vì $\mathbf{v}_k \neq \mathbf{0}$ theo định nghĩa vectơ riêng, nên $c_k = 0$. Mọi hệ số đều bằng không, mâu thuẫn với giả thiết không phải mọi $c_i$ triệt tiêu. Vậy không tồn tại hệ thức phụ thuộc như vậy, và các vectơ riêng độc lập tuyến tính.