$\mathcal O_K$ đóng dưới phép cộng và phép nhân

Trường hợp $d\equiv2,3\pmod4$ ($\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt d]$, tức mọi phần tử $a+b\sqrt d$ với $a,b\in\mathbb Z$): phép cộng theo từng thành phần, $(a+b\sqrt d)+(c+e\sqrt d)=(a+c)+(b+e)\sqrt d$, rõ ràng lại có dạng này. Với phép nhân, $(a+b\sqrt d)(c+e\sqrt d)=(ac+bed)+(ae+bc)\sqrt d$, và vì $a,b,c,e,d\in\mathbb Z$, cả $ac+bed$ lẫn $ae+bc$ đều là số nguyên, nên tích vẫn nằm trong $\mathbb Z[\sqrt d]$.

Trường hợp $d\equiv1\pmod4$ ($\mathcal O_K=\mathbb Z[\omega]$ với $\omega=\tfrac{1+\sqrt d}2$): trước hết tính trực tiếp $\omega^2$. $\omega^2=\left(\tfrac{1+\sqrt d}2\right)^2=\tfrac{1+2\sqrt d+d}4=\tfrac{1+d}4+\tfrac{\sqrt d}2$. Vì $\sqrt d=2\omega-1$, điều này bằng $\tfrac{1+d}4+\omega-\tfrac12=\tfrac{d-1}4+\omega$. Vì $d\equiv1\pmod4$, $t:=\tfrac{d-1}4$ là số nguyên, nên $\omega^2=t+\omega$: một quan hệ nguyên đích thực cho thấy $\omega$ thoả đa thức đơn khởi nguyên $x^2-x-t$, xác nhận bản thân $\omega$ là nguyên (như phải vậy, khớp với Định lý 1), và quan trọng là biểu diễn lại $\omega^2$ dưới dạng tổ hợp nguyên của $1$ và $\omega$.

Bây giờ lấy các phần tử tổng quát $a+b\omega$ và $c+e\omega$ với $a,b,c,e\in\mathbb Z$; phép cộng lại theo từng thành phần và rõ ràng đóng. Với tích, $(a+b\omega)(c+e\omega)=ac+(ae+bc)\omega+be\,\omega^2=ac+(ae+bc)\omega+be(t+\omega)=(ac+bet)+(ae+bc+be)\omega$. Cả hai hệ số $ac+bet$ và $ae+bc+be$ đều là số nguyên (tích và tổng của các số nguyên), nên tích nằm trong $\mathbb Z+\mathbb Z\omega=\mathbb Z[\omega]$.

Trong cả hai trường hợp, tính đóng dưới phép cộng và phép nhân được kiểm chứng bằng tính toán trực tiếp, sơ cấp, xác nhận $\mathcal O_K$ thực sự là một vành con của $K$ chứa $\mathbb Z$ trong mọi trường bậc hai, đúng như cái tên "vành số nguyên" hứa hẹn.