Trường hợp riêng $k=3$: định lý van der Corput

Bước 1 (đếm có trọng số bằng tổng lũy thừa). Viết $S(\theta) = \sum_{n \le N} \Lambda(n) e(\theta n)$. Số đếm có trọng số các cấp số cộng 3 số hạng $p_1 + p_3 = 2p_2$ với mọi số hạng $\le N$ bằng $\int_0^1 S(\theta)^2 S(-2\theta) \, d\theta$ nhờ tính trực giao của hàm mũ.

Bước 2 (cung chính). Gần các số hữu tỉ $\theta \approx a/q$ với $q$ nhỏ, $S(\theta)$ được xấp xỉ tốt nhờ định lý số nguyên tố trong cấp số cộng; cộng các đóng góp này cho số hạng chính Hardy–Littlewood $\mathfrak{S}(N) \, N^2 / \log^3 N$, trong đó chuỗi kỳ dị $\mathfrak{S}(N)$ là một hằng số dương chỉ phụ thuộc mật độ địa phương (modulo $q$) của số nguyên tố.

Bước 3 (cung phụ). Xa các số hữu tỉ mẫu nhỏ, ước lượng Vinogradov chặn $S(\theta)$ bởi $O(N (\log N)^{-A})$ với mọi $A$ cố định, nhờ sự triệt tiêu trong tổng trên số nguyên tố; lấy tích phân cận này trên cung phụ cho thấy tổng đóng góp của chúng là $o(N^2/\log^3 N)$ — không đáng kể so với số hạng chính từ cung chính.

Bước 4 (kết luận). Vì số hạng chính từ cung chính $\mathfrak{S}(N)\,N^2/\log^3 N$ lấn át sai số không đáng kể từ cung phụ, số đếm có trọng số các cấp số cộng 3 số hạng tăng như $N^2/\log^3 N \to \infty$, nên có vô hạn (và tiệm cận nhiều) cấp số cộng 3 số hạng gồm số nguyên tố — trọn 65 năm trước khi trường hợp tổng quát được giải quyết.