Công thức rút gọn của phương sai

Theo định nghĩa, $\mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ với $\mu = E[X]$. Khai triển bình phương bên trong kỳ vọng: $(X-\mu)^2 = X^2 - 2\mu X + \mu^2$.

Áp dụng tính tuyến tính của kỳ vọng cho từng số hạng: $E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - 2\mu E[X] + \mu^2$. Vì $\mu$ là hằng số (không phụ thuộc vào kết cục) nên có thể đưa ra ngoài kỳ vọng ở số hạng giữa và số hạng cuối.

Thay $E[X] = \mu$ trở lại: $E[X^2] - 2\mu\cdot\mu + \mu^2 = E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 = E[X^2] - \mu^2$. Thay $\mu$ bằng $E[X]$ cho đúng $\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$ như đã nêu.