Lý thuyết toán tử

Nó nói rằng một toán tử tự liên hợp compact, dù trông phức tạp đến đâu, thực chất là một ma trận đường chéo trong cơ sở trực chuẩn thích hợp — hệt như một ma trận đối xứng trong đại số tuyến tính luôn chéo hóa được bởi một cơ sở riêng trực chuẩn. Điều này cho phép định nghĩa các hàm của toán tử, giải $Tx=y$, và phân tách tín hiệu hay hình ảnh theo các hướng riêng chủ đạo của chúng (phân tích thành phần chính chính là định lý này ngụy trang).

Trước hết, mọi trị riêng của một toán tử tự liên hợp đều là số thực: nếu $Tx=\lambda x$ với $x\ne0$, thì $\lambda\|x\|^2=\langle Tx,x\rangle=\langle x,Tx\rangle=\bar\lambda\|x\|^2$ (dùng tính tự liên hợp ở bước giữa), nên $\lambda=\bar\lambda$. Tương tự, các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau $\lambda\ne\mu$ trực giao với nhau: $\lambda\langle x,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle=\mu\langle x,y\rangle$ buộc $\langle x,y\rangle=0$.

Tiếp theo, tính compact bảo đảm một trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất thực sự tồn tại: chuẩn toán tử thỏa $\|T\|=\sup_{\|x\|=1}|\langle Tx,x\rangle|$ với $T$ tự liên hợp, và tính compact cho phép trích ra một dãy con hội tụ từ một dãy cực đại hóa cho $|\langle Tx,x\rangle|$, tạo ra một vectơ đơn vị $e_1$ với $Te_1=\lambda_1 e_1$ trong đó $|\lambda_1|=\|T\|$.

Bây giờ quy nạp: đã tìm được các vectơ riêng trực chuẩn $e_1,\dots,e_{n-1}$ với các trị riêng $\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}$, hạn chế $T$ lên không gian con đóng $H_n=\{e_1,\dots,e_{n-1}\}^\perp$. Vì $T$ ánh xạ $H_n$ vào chính nó (tính tự liên hợp làm cho phần bù trực giao của một không gian con bất biến cũng bất biến) và vẫn compact, tự liên hợp ở đó, cùng lập luận trị riêng cực đại tạo ra vectơ riêng tiếp theo $e_n\in H_n$ với $|\lambda_n|\le|\lambda_{n-1}|$.

Cuối cùng, nếu quá trình này không dừng, $\lambda_n\to0$: nếu không, vô hạn $|\lambda_n|$ sẽ ở trên một $\delta>0$ nào đó, nhưng khi đó $\{Te_n\}=\{\lambda_ne_n\}$ sẽ không có dãy con hội tụ (vì $\|\lambda_ne_n-\lambda_me_n\|^2\ge\delta^2\cdot2$ với $n\ne m$ theo tính trực chuẩn), mâu thuẫn với tính compact của $T$. Sau đó ta kiểm tra rằng bao đóng của span của $\{e_n\}$ cùng với $\ker T$ lấp đầy $H$, và $T$ tác động như $0$ trên $\ker T$, cho khai triển riêng $Tx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n$ với mọi $x\in H$.

Đây là định lý giải thích tại sao các toán tử không bị chặn là điều không thể tránh khỏi trong cơ học lượng tử: các toán tử đối xứng quan trọng về vật lý như vị trí, động lượng, và Hamiltonian thực sự không thể xác định trên mọi vectơ của $H$ (chỉ trên một miền trù mật), vì nếu chúng xác định như vậy, định lý này sẽ buộc chúng phải bị chặn — nhưng rõ ràng chúng không bị chặn.

Ta dùng định lý đồ thị đóng (một hệ quả chuẩn của định lý phạm trù Baire): một toán tử tuyến tính xác định trên toàn bộ một không gian Hilbert là bị chặn khi và chỉ khi đồ thị của nó $\{(x,Tx):x\in H\}$ đóng trong $H\times H$, tức bất cứ khi nào $x_n\to x$ và $Tx_n\to y$, ta phải có $y=Tx$.

Giả sử $x_n\to x$ và $Tx_n\to y$. Ta phải chứng minh $y=Tx$. Với bất kỳ $z\in H$ cố định nào, tính đối xứng cho $\langle Tx_n,z\rangle=\langle x_n,Tz\rangle$ với mọi $n$.

Cho $n\to\infty$ ở cả hai vế: vế trái $\langle Tx_n,z\rangle\to\langle y,z\rangle$ vì $Tx_n\to y$ và tích vô hướng liên tục; vế phải $\langle x_n,Tz\rangle\to\langle x,Tz\rangle$ vì $x_n\to x$. Nên $\langle y,z\rangle=\langle x,Tz\rangle=\langle Tx,z\rangle$ (dùng tính đối xứng một lần nữa ở vế phải).

Vì $\langle y,z\rangle=\langle Tx,z\rangle$ đúng với mọi $z\in H$, ta được $\langle y-Tx,z\rangle=0$ với mọi $z$; lấy $z=y-Tx$ cho $\|y-Tx\|^2=0$, nên $y=Tx$. Đồ thị của $T$ vì vậy đóng, và định lý đồ thị đóng kết luận $T$ bị chặn.