Định lýĐã chứng minh

Định lý Cayley–Hamilton

Phát biểu

Mọi ma trận vuông $A$ đều thỏa mãn chính đa thức đặc trưng của nó: nếu $p(\lambda)=\det(\lambda I - A)$ thì $p(A) = 0$ (ma trận không).

Vì sao đúng?

Đa thức đặc trưng $p(\lambda)$ được xây dựng đúng sao cho $p(\lambda)=0$ mỗi khi $\lambda$ là trị riêng của $A$ . Thay chính ma trận $A$ vào chỗ $\lambda$ nghe có vẻ là một bước nhảy lớn, nhưng nó hiệu quả vì $A$ tác động lên mỗi vectơ riêng giống hệt cách trị riêng vô hướng tác động, và (trong trường hợp chéo hóa được) các vectơ riêng trải khắp toàn bộ không gian — nên $p(A)$ triệt tiêu mọi hướng, nghĩa là $p(A)$ là ma trận không.

Phác thảo chứng minh

Với $A=PDP^{-1}$ chéo hóa được, $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , ta có $p(A)=Pp(D)P^{-1}$ và $p(D)=\mathrm{diag}(p(\lambda_1),\dots,p(\lambda_n))=0$ vì mỗi $\lambda_i$ là nghiệm của $p$ . Trường hợp tổng quát (không chéo hóa được) suy ra bằng lập luận trù mật/liên tục, hoặc trực tiếp qua đẳng thức ma trận phụ hợp $\mathrm{adj}(\lambda I-A)(\lambda I - A)=p(\lambda)I$ xem như đẳng thức đa thức trên ma trận.

Người phát biểu

Arthur Cayley

Chủ đề chứa định lý này

Trị riêng và chéo hóa

Định lý liên quan

Định lý phổ (ma trận đối xứng thực)Định lý hạng–số chiều nhân

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Roger A. Horn, Charles R. Johnson (2012). Matrix Analysis · DOI:10.1017/CBO9781139020411