Định lýĐã chứng minh

Bất đẳng thức Chebyshev

Phát biểu

Cho $X$ là một biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn $\mu = \mathbb{E}[X]$ và phương sai hữu hạn $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X)$ . Với mọi số thực $\varepsilon > 0$ , ta có $\mathbb{P}(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$ . Tương đương, khi $\sigma > 0$ , với mọi $k > 0$ , ta có $\mathbb{P}(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$ .

Vì sao đúng?

Dù phân phối của $X$ có bất quy tắc hay lệch đến đâu, phương sai $\sigma^2$ của nó vẫn đóng vai trò như một ngân sách cứng giới hạn lượng xác suất có thể nằm xa kỳ vọng $\mu$ : tối đa một tỷ lệ $\frac{1}{k^2}$ các kết quả có thể cách kỳ vọng từ $k$ độ lệch chuẩn trở lên.

Phác thảo chứng minh

Đặt $A = \{|X - \mu| \ge \varepsilon\}$ . Trên biến cố $A$ , ta có $(X - \mu)^2 \ge \varepsilon^2$ , nên bất đẳng thức từng điểm $(X - \mu)^2 \ge \varepsilon^2 \mathbf{1}_A$ đúng khắp nơi trên không gian mẫu. Lấy kỳ vọng hai vế và dùng tính đơn điệu cùng tính tuyến tính, ta được $\sigma^2 = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] \ge \mathbb{E}[\varepsilon^2 \mathbf{1}_A] = \varepsilon^2 \mathbb{P}(A) = \varepsilon^2 \mathbb{P}(|X - \mu| \ge \varepsilon)$ . Chia hai vế cho $\varepsilon^2 > 0$ ta thu được $\mathbb{P}(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$ .

Chủ đề chứa định lý này

Biến ngẫu nhiên và phân phối Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm

Định lý liên quan

Luật số lớn yếu Luật số lớn mạnh Hệ tiên đề xác suất Kolmogorov

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Pafnuty Chebyshev (1867). Des valeurs moyennes
William Feller (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1