Định lý thặng dư

Phát biểu

Cho $U \subset \mathbb{C}$ là một miền mở, $S = \{a_1, \dots, a_m\} \subset U$ là tập hữu hạn các điểm kỳ dị cô lập của hàm chỉnh hình $f : U \setminus S \to \mathbb{C}$, và $\gamma$ là một đường cong kín đơn định hướng dương trong $U \setminus S$ có phần trong nằm trong $U$ và chứa $S$. Khi đó $\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{m} \operatorname{Res}(f, a_k)$, trong đó $\operatorname{Res}(f, a_k) = c_{-1}$ là hệ số của $(z - a_k)^{-1}$ trong khai triển chuỗi Laurent của $f$ quanh $a_k$.

Vì sao đúng?

Theo định lý tích phân Cauchy, một hàm chỉnh hình có lưu số bằng không ở mọi nơi, nên tích phân quanh một vòng kín chỉ thu nhận đóng góp từ các 'lỗ thủng' $a_k$ nằm bên trong vòng lặp. Quanh mỗi lỗ thủng, khai triển $f(z)$ thành chuỗi Laurent $\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - a_k)^n$ cho thấy mọi lũy thừa $(z - a_k)^n$ với $n \ne -1$ đều có nguyên hàm chính xác $(z - a_k)^{n+1}/(n+1)$ nên có tích phân bằng không dọc theo đường kín. Chỉ duy nhất số hạng $(z - a_k)^{-1}$ — vốn có nguyên hàm là hàm đa trị $\log(z - a_k)$ — không tự triệt tiêu, để lại một phần 'thặng dư' bằng $2\pi i\,c_{-1}$ cho mỗi vòng quay quanh $a_k$. Nhờ đó, việc tính tích phân đường liên tục quy về phép tính đại số thuần túy tại vài điểm cô lập.

Chủ đề chứa định lý này

Định lý liên quan

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.