MathLabs

Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1996

Đề thi

  1. Bài 1Cho tứ giác ABCDABCD có AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA. Cho MNMN và PQPQ là các đoạn vuông góc với đường chéo BDBD, trong đó M∈ADM\in AD, N∈DCN\in DC, P∈ABP\in AB, và Q∈BCQ\in BC, và khoảng cách giữa chúng là d>BD/2d>BD/2. Chứng minh chu vi lục giác AMNCQPAMNCQP không phụ thuộc vị trí của MNMN và PQPQ khi khoảng cách của chúng vẫn bằng dd.Các cách giải: 1
  2. Bài 2Cho m,nm,n là các số nguyên dương với n≤mn\le m. Chứng minh 2nn!≤(m+n)!(m−n)!≤(m2+m)n2^n n!\le\dfrac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Cho P1,P2,P3,P4P_1,P_2,P_3,P_4 là bốn điểm trên một đường tròn. Với mỗi ii, gọi IiI_i là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác tạo bởi ba điểm còn lại. Chứng minh I1,I2,I3,I4I_1,I_2,I_3,I_4 là các đỉnh của một hình chữ nhật.Các cách giải: 1
  4. Bài 4Hội đồng Hôn nhân Quốc gia muốn mời nn cặp vợ chồng lập thành 1717 nhóm thảo luận. Mỗi nhóm chỉ gồm người cùng giới; kích thước hai nhóm bất kỳ chênh nhau 00 hoặc 11; mọi nhóm đều không rỗng; và mỗi người thuộc đúng một nhóm. Tìm mọi n≤1996n\le1996 để điều này có thể xảy ra.Các cách giải: 1
  5. Bài 5Cho a,b,ca,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh a+b−c+b+c−a+c+a−b≤a+b+c\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c, và xác định khi nào xảy ra đẳng thức.Các cách giải: 1