Hôm nay học gì?

Mệnh đề và suy luận

Mệnh đề là câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. Các phép toán $\neg P$, $P \wedge Q$, $P \vee Q$, $P \to Q$ tạo ra mệnh đề phức hợp, và bảng chân trị giúp ta kiểm chứng chắc chắn các đẳng thức như $\neg(P \wedge Q) \equiv (\neg P) \vee (\neg Q)$.

Logic vị từ

Logic vị từ mở rộng logic mệnh đề bằng các lượng từ $\forall x\, P(x)$ ("với mọi $x$, $P(x)$") và $\exists x\, P(x)$ ("tồn tại $x$ sao cho $P(x)$"), cho phép hình thức hóa các phát biểu về mọi phần tử hoặc một phần tử của một miền, và suy luận trên chúng bằng ngữ nghĩa thỏa mãn Tarski.

Định lý bất toàn Gödel

Mọi hệ hình thức đủ mạnh để mô tả số học đều chứa những mệnh đề đúng mà nó không chứng minh được, và không thể tự chứng minh tính nhất quán của chính mình — một giới hạn nền tảng được phát hiện năm 1931, làm thay đổi logic học, lý thuyết tính toán và triết học toán học.

Giả thuyết abc

Dự đoán rằng với $a+b=c$ nguyên tố cùng nhau, $c$ hiếm khi lớn hơn nhiều so với tích các ước nguyên tố phân biệt của $abc$ — đề ra năm 1985; một tuyên bố chứng minh gây tranh cãi năm 2012 được công bố năm 2021 nhưng chưa được đa số nhà số học chấp nhận.

Chia ba một góc bằng thước kẻ và compa

Được Pierre Wantzel chứng minh là bất khả thi trong trường hợp tổng quát vào năm 1837: việc chia ba góc $60^\circ$ đòi hỏi phải dựng được $\cos(20^\circ)$, có đa thức tối tiểu $8x^3 - 6x - 1 = 0$ trên $\mathbb{Q}$ mang bậc $3$, không phải là lũy thừa của $2$.

Giả thuyết Artin về căn nguyên thuỷ

Một số nguyên $a$ là căn nguyên thuỷ modulo số nguyên tố $p$ nếu các luỹ thừa của nó sinh ra toàn bộ nhóm nhân $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ cấp $p-1$. Năm 1927, Emil Artin nêu với Helmut Hasse rằng mọi số nguyên $a \ne -1$ không phải số chính phương đều sinh ra $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ cho một tỷ lệ dương các số nguyên tố $p$, tuân theo một tích Euler trực giác. Các tính toán sau đó của Lehmer đã phát hiện các hiệu chỉnh vướng víu nhỏ khi phần không có ước chính phương của $a$ đồng dư với $1 \pmod{4}$, và Heilbronn đã chỉnh lại công thức mật độ. Christopher Hooley chứng minh giả thuyết đã hiệu chỉnh vào năm 1967 dưới Giả thuyết Riemann tổng quát, và D. R. Heath-Brown chứng minh vô điều kiện vào năm 1986 rằng có nhiều nhất hai cơ số nguyên tố có thể thất bại — thế nhưng chưa một cơ số cụ thể $a$ nào được chứng minh vô điều kiện.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

Nhà toán học và thiên văn học người Ba Tư tại Ngôi nhà Trí tuệ ở Baghdad, tác giả chuyên luận về phục hồi và cân bằng phương trình đặt tên và xử lý một cách hệ thống lần đầu tiên cho đại số, đồng thời tác phẩm về chữ số Ấn Độ góp phần truyền hệ thập phân Ấn Độ - Ả Rập vào truyền thống toán học phương Tây.

Alan Turing

Nhà toán học và logic học người Anh; định nghĩa máy tính trừu tượng mang tên ông, đặt nền móng lý thuyết cho khoa học máy tính, và giữ vai trò trung tâm trong nỗ lực phá các mật mã Enigma của Đức thời chiến.

Alexander Grothendieck

Nhà toán học sinh tại Đức làm việc tại Pháp; tái thiết hình học đại số trên ngôn ngữ lược đồ, bó, topos và đối đồng điều étale, đồng thời làm biến đổi đại số đồng điều và lý thuyết phạm trù.