Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1997

Đề thi

Bài 1Cho $T_n=1+2+\cdots+n=n(n+1)/2$ và $S_n=1/T_1+1/T_2+\cdots+1/T_n$ . Chứng minh rằng $1/S_1+1/S_2+\cdots+1/S_{1996}>1001$ .Các cách giải: 1
Bài 2Tìm một số nguyên $n$ trong khoảng $100\le n\le1997$ sao cho $n$ chia hết $2^n+2$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho tam giác $ABC$ . Phân giác góc $A$ cắt $BC$ tại $X$ và đường tròn ngoại tiếp tại $Y$ . Đặt $r_A=AX/AY$ , định nghĩa tương tự $r_B,r_C$ . Chứng minh $r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3$ , dấu bằng khi và chỉ khi tam giác đều.Các cách giải: 1
Bài 4Cho $P_1$ và $P_3$ là hai điểm cố định. Điểm $P_2$ nằm trên đường thẳng qua $P_3$ vuông góc với $P_1P_3$ . Xác định $P_{n+1}$ là chân đường vuông góc từ $P_n$ xuống đường thẳng $P_{n-1}P_{n-2}$ . Chứng minh dãy hội tụ đến một điểm $P$ và tìm quỹ tích của $P$ khi $P_2$ thay đổi.Các cách giải: 1
Bài 5Có $n$ người ngồi thành vòng tròn. Tổng cộng có $nk$ đồng xu được phân phối, không nhất thiết đều. Một bước chuyển một đồng xu giữa hai người kề nhau. Hãy tìm thuật toán dùng ít bước nhất để cuối cùng mọi người có cùng số đồng xu.Các cách giải: 1