Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2014

Đề thi

Bài 1Với số nguyên dương $m$ , ký hiệu $S(m)$ và $P(m)$ lần lượt là tổng và tích các chữ số của $m$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ , tồn tại các số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn $S(a_1)<S(a_2)<\cdots<S(a_n)$ và $S(a_i)=P(a_{i+1})$ với $i=1,2,\ldots,n$ , trong đó $a_{n+1}=a_1$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $S=\{1,2,\ldots,2014\}$ . Với mỗi tập con khác rỗng $T\subseteq S$ , chọn một phần tử làm đại diện. Hãy tìm số cách gán đại diện cho mọi tập con khác rỗng của $S$ sao cho nếu $D\subseteq S$ là hợp rời nhau của các tập con khác rỗng $A,B,C\subseteq S$ , thì đại diện của $D$ cũng là đại diện của ít nhất một trong $A,B,C$ .Các cách giải: 1
Bài 3Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho với mọi số nguyên $k$ , tồn tại số nguyên $a$ để $a^3+a-k$ chia hết cho $n$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $n$ và $b$ là các số nguyên dương. Gọi $n$ là $b$ -phân biệt nếu tồn tại một tập gồm $n$ số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn $b$ , không có hai tập con khác nhau $U$ và $V$ có tổng các phần tử trong $U$ bằng tổng các phần tử trong $V$ . (a) Chứng minh $8$ là $100$ -phân biệt. (b) Chứng minh $9$ không là $100$ -phân biệt.Các cách giải: 1
Bài 5Hai đường tròn $\omega$ và $\Omega$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Gọi $M$ là trung điểm cung $AB$ của đường tròn $\omega$ ( $M$ nằm trong $\Omega$ ). Một dây $MP$ của $\omega$ cắt $\Omega$ tại $Q$ ( $Q$ nằm trong $\omega$ ). Gọi $\ell_P$ là tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$ , và $\ell_Q$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $Q$ . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các đường $\ell_P$ , $\ell_Q$ và $AB$ tiếp xúc với $\Omega$ .Các cách giải: 1