Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2020

Đề thi

Bài 1Gọi $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Gọi $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $A$ cắt đường thẳng qua $D$ song song với $BA$ tại điểm $E$ . Đoạn thẳng $CE$ cắt $\Gamma$ lần thứ hai tại $F$ . Giả sử $B$ , $D$ , $F$ , $E$ cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng $AC$ , $BF$ , $DE$ đồng quy.Các cách giải: 1
Bài 2Chứng minh rằng $r=2$ là số thực lớn nhất $r$ thỏa mãn điều kiện sau: nếu một dãy $a_1,a_2,\ldots$ các số nguyên dương thỏa mãn các bất đẳng thức $a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}$ với mọi số nguyên dương $n$ , thì tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{n+2}=a_n$ với mọi $n\ge M$ .Các cách giải: 1
Bài 3Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ mà tồn tại một số nguyên dương $m$ và một tập hợp $S$ các số nguyên dương sao cho mọi số nguyên $n>m$ đều có thể viết thành tổng các phần tử phân biệt của $S$ theo đúng $k$ cách.Các cách giải: 1
Bài 4Ký hiệu $\mathbb{Z}$ là tập tất cả các số nguyên. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn tính chất sau: với mọi dãy vô hạn $a_1,a_2,\ldots$ các số nguyên trong đó mỗi số nguyên thuộc $\mathbb{Z}$ xuất hiện đúng một lần, tồn tại các chỉ số $i<j$ và một số nguyên $k$ sao cho $a_i+a_{i+1}+\cdots+a_j=P(k)$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $n\ge3$ là số nguyên cố định. Số $1$ được viết $n$ lần trên bảng. Bên dưới bảng có hai chiếc thùng, ban đầu trống rỗng. Một nước đi gồm việc xóa hai số $a$ và $b$ , thay chúng bằng các số $1$ và $a+b$ , sau đó thêm một viên đá vào thùng thứ nhất và $\gcd(a,b)$ viên đá vào thùng thứ hai. Sau một số hữu hạn nước đi, thùng thứ nhất có $s$ viên đá và thùng thứ hai có $t$ viên đá, với $s$ và $t$ là các số nguyên dương. Tìm tất cả các giá trị có thể có của tỉ số $\dfrac{t}{s}$ .Các cách giải: 1