第2問

n>6を整数とし、

a_1,a_2,\ldots,a_k

をn未満でnと互いに素な正整数を昇順に並べたものとする。

a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0

ならば、nは素数または2のべきであることを証明せよ。

ステップ 3/5: nが4の倍数なら差は2

n=4m\ \Longrightarrow\ 2m-1,2m+1\text{ reduced}\ \Longrightarrow d\mid2

詳しい解説

n=4mなら2m−1と2m+1はいずれも奇数でnと互いに素である。差は2なのでdは2を割る。列の全要素は奇数だからd≠1、従ってd=2であり、列はn未満の全奇数である。