今日は何を学びますか?

命題と論理的推論

命題とは真か偽かのどちらかが定まる文であり、両方であることはない。$\neg P$、$P \wedge Q$、$P \vee Q$、$P \to Q$ などの結合子で複合命題を作り、真理値表を使えば $\neg(P \wedge Q) \equiv (\neg P) \vee (\neg Q)$ のような同値関係を確実に検証できる。

述語論理

述語論理は命題論理を量化子 $\forall x\, P(x)$(「すべての $x$ について $P(x)$」)と $\exists x\, P(x)$(「ある $x$ が存在して $P(x)$」)で拡張し、ある領域のすべての元、またはある元についての言明を形式化し、タルスキの充足意味論で推論できるようにする。

ゲーデルの不完全性定理

算術を記述できるほど強力な形式体系は、証明できない真の命題を必ず含み、また自分自身の無矛盾性を証明することもできない——1931年に発見されたこの根本的な限界は、論理学、計算可能性理論、数学の哲学を一変させた。

abc予想

互いに素な $a+b=c$ について、$c$ が $abc$ を割り切る相異なる素数の積よりはるかに大きくなることは稀であると予想する — 1985年に提案され、2012年の証明主張は2021年に公表されたが、多くの数論学者に受け入れられていない。

コンパスと定規による角の三等分問題

1837年にピエール・ヴァンツェルによって一般には不可能であることが証明された。角 $60^\circ$ の三等分には $\cos(20^\circ)$ の作図が必要となるが、その $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式 $8x^3 - 6x - 1 = 0$ の次数は $3$ であり、$2$ のべき乗ではない。

原始根に関するアルティンの予想

整数 $a$ は、そのべき乗が位数 $p-1$ の乗法群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 全体を生成するとき、素数 $p$ を法とする原始根と呼ばれる。1927年、エミール・アルティンはヘルムート・ハッセに対し、平方数でない任意の整数 $a \ne -1$ はオイラー積のヒューリスティクスに従う正の割合の素数 $p$ に対して $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ を生成すると予想した。その後レーマーの数値計算により、$a$ の無平方部分が $1 \pmod{4}$ のときに生じる小さな絡み合い補正が見出され、ハイルブロンが密度公式を修正した。1967年にクリストファー・フーリーが一般リーマン予想のもとで修正後の予想を証明し、1986年には D. R. ヒース＝ブラウンが予想の成り立たない素数底は高々2個であることを無条件に示したが、特定の底 $a$ に対して無条件に証明された例は1つもない。

フワーリズミー

バグダードの知恵の館に拠ったペルシアの数学者・天文学者。方程式の「還元」と「均衡」を論じた彼の著作は「代数学」の名の由来となり、その初の体系的な扱いを与えた。またインド数字に関する著作は、インド・アラビア十進法を西洋数学の伝統へ伝える一助となった。

アラン・チューリング

自身の名を冠した抽象計算機を定義し、計算機科学の理論的基礎を築いたイギリスの数学者・論理学者。戦時中のドイツ軍エニグマ暗号解読で中心的な役割を果たした。

アレクサンドル・グロタンディーク

ドイツ生まれでフランスで活動した数学者。スキーム、層、トポス、エタール・コホモロジーの言語によって代数幾何学を再構築し、ホモロジー代数と圏論を一変させた。