Bài 1

Cho

n \ge 100

là một số nguyên. Ivan viết các số

n, n+1, \ldots, 2n

, mỗi số trên một tấm thẻ khác nhau. Sau đó, cậu xáo trộn

n+1

tấm thẻ này rồi chia chúng thành hai chồng. Chứng minh rằng ít nhất một chồng chứa hai tấm thẻ có tổng bằng một số chính phương.

Bước 1 trên 5: Dựng một bộ ba có tổng đôi một là số chính phương

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Ba số chính phương liên tiếp $(2k-1)^2,(2k)^2,(2k+1)^2$ có thể đồng thời là ba tổng đôi một của một bộ ba số nguyên.

a=2k^2-4k,\quad b=2k^2+1,\quad c=2k^2+4k

Phân tích chi tiết

Đặt $a+b=(2k-1)^2$ , $b+c=(2k+1)^2$ , $c+a=(2k)^2$ . Giải hệ tuyến tính này cho $a=2k^2-4k$ , $b=2k^2+1$ , $c=2k^2+4k$ . Trong miền được dùng dưới đây, $k\ge9$ , ta có $a<b<c$ .