第2問

すべての実数

x_1,x_2,\ldots,x_n

に対して、不等式

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}

が成り立つことを示せ。

ステップ 1/5: 基本ケース

n=1

と

n=2

を確認する

ざっくり言うと

小さい場合は帰納法の土台であり、直接計算で確かめられる。

n=1:\ 0\le 2\sqrt{|x_1|}

詳しい解説

$n=1$ では両辺とも自明に $0$ になる（あるいは対角項を分離すると $0\le 2\sqrt{|x_1|}$ に帰着する）。 $n=2$ では $x_1x_2$ の符号に応じた短い場合分けで不等式が確認できる。これらが $n$ に関する帰納法の土台となる。