MathLabs

第1問

1999 個の実数項からなる等差数列がちょうど n 個の整数を含むことがないような最小の正整数 n を求めよ。
ステップ 3/5: 欠ける条件を床関数の不等式にする
k=⌊1999n+1⌋,k(n−1)+n≥2000k=\left\lfloor\frac{1999}{n+1}\right\rfloor,\qquad k(n-1)+n\ge2000
詳しい解説

n を固定し k=floor(1999/(n+1)) とする。これは下端 kn-k+1 が 1999 以下となる最大の k である。次の区間の上端 (k+1)n-(k+1)+1 が少なくとも 2000 となることが、1999 が実現不能となる条件であり、これは k(n-1)+n が2000以上であることと同値である。