MathLabs

第2問

実数列 a1,a2,... がすべての正整数 i,j に対して a(i+j) <= ai+aj を満たすとする。任意の正整数 n について a1+a2/2+...+an/n >= an を証明せよ。
ステップ 2/4: 帰納法の仮定を加える
(n+1)b1+(n+1)b2+⋯+(n+1)bn≥2(a1+⋯+an)(n+1)b_1+(n+1)b_2+\cdots+(n+1)b_n\ge2(a_1+\cdots+a_n)
詳しい解説

k=1,...,n の各 k について b1+...+bk >= ak と仮定する。これら n 個を加え、さらに b1+2b2+...+n bn=a1+...+an を加える。各 bi の係数は n+1 となり、表示の不等式を得る。