第2問

実数列 a1,a2,... がすべての正整数 i,j に対して a(i+j) <= ai+aj を満たすとする。任意の正整数 n について a1+a2/2+...+an/n >= an を証明せよ。

ステップ 3/4: 劣加法性で項を対にする

2(a_1+\cdots+a_n)=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_n+a_1)\ge n a_{n+1}

詳しい解説

仮定より各 i について ai+a(n+1-i) >= a(n+1) である。すべての項を対にすれば 2(a1+...+an) >= n a(n+1)。前行と合わせると、bi の部分和の n+1 倍は n a(n+1) 以上となる。