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アジア太平洋数学オリンピック
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1999年
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第4問
第4問
m の二乗に 4n を加えた数と n の二乗に 4m を加えた数がともに平方数となる整数の組 (m,n) をすべて求めよ。
ステップ 5/5: 完全な答えを述べる
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(
m
,
n
)
=
(
k
2
,
0
)
,
(
0
,
k
2
)
,
(
k
,
1
−
k
)
,
(
1
−
k
,
k
)
,
(
−
4
,
−
4
)
,
(
−
5
,
−
6
)
,
(
−
6
,
−
5
)
(m,n)=(k^2,0),(0,k^2),(k,1-k),(1-k,k),(-4,-4),(-5,-6),(-6,-5)
(
m
,
n
)
=
(
k
2
,
0
)
,
(
0
,
k
2
)
,
(
k
,
1
−
k
)
,
(
1
−
k
,
k
)
,
(
−
4
,
−
4
)
,
(
−
5
,
−
6
)
,
(
−
6
,
−
5
)
詳しい解説
列挙した族を代入すれば二つの平方条件を満たすことが確認でき、小さい根による分類で他のケースがないことも分かる。線形族、平方族とも k は任意の整数である。
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