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第5問

平面上の 2n+1 個の点は、3点が一直線上になく、4点が同一円周上にないとする。3点を通り、その内部にちょうど n-1 点を含む円を集合を分割する円と呼ぶ。分割する円の個数が偶数であることと n が偶数であることが同値であることを示せ。
ステップ 2/5: 内部点数の変化を追う
Xi∈R⟺Xi lies inside Cj (i<j),Xj∈L⟺Xj lies inside CiX_i\in R\Longleftrightarrow X_i\text{ lies inside }C_j\ (i<j),\quad X_j\in L\Longleftrightarrow X_j\text{ lies inside }C_i
詳しい解説

i<j なら、Ci は Cj の R 側の点を含み、Cj は Ci の L 側の点を含む。従って Ci の内部点数を fi とすれば、Xi,Xi+1 が反対側なら fi+1=fi、両方 L なら fi+1=fi-1、両方 R なら fi+1=fi+1 となる。