MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 2003年

問題

  1. 第1問p(x)=x8−4x7+7x6+ax5+bx4+cx3+dx2+ex+fp(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f が ri>0r_i>0 (i=1,2,…,8i=1,2,\ldots,8) を満たす8個の一次因子 x−rix-r_i に分解されるとする。ff の取り得る値をすべて求めよ。解答: 1
  2. 第2問ABCDABCD を一辺 aa の正方形とする。平面上の平行線 ℓ1\ell_1 と ℓ2\ell_2 は距離 aa だけ離れている。正方形を、ABAB と ADAD が ℓ1\ell_1 とそれぞれ EE と FF で交わり、CBCB と CDCD が ℓ2\ell_2 とそれぞれ GG と HH で交わるように置く。△AEF\triangle AEF と △CGH\triangle CGH の周長を m1m_1 と m2m_2 とするとき、置き方によらず m1+m2m_1+m_2 が一定であることを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問k≥14k\ge14 を整数とし、pkp_k を kk より真に小さい最大の素数とする。pk≥3k/4p_k\ge3k/4 を仮定してよい。nn を合成数とする。(a) n=2pkn=2p_k なら nn は (n−k)!(n-k)! を割り切らず、(b) n>2pkn>2p_k なら nn は (n−k)!(n-k)! を割り切ることを証明せよ。解答: 1
  4. 第4問a+b+c=1a+b+c=1 を満たす三角形の辺長を a,b,ca,b,c とし、n≥2n\ge2 を整数とする。an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2 を証明せよ。解答: 1
  5. 第5問正整数 に対し、任意の 人の中に、互いに知り合いである 組の 人、または互いに知り合いでない 組の 人が必ず存在するような最小の正整数 を求めよ。 mm nn kk kk 2m2m mm 2n2n nn解答: 1